Formalización de la idea de conjunto $A$ *junto* con las operaciones $+,\cdot$ ''.

Question

Ilustraré mi pregunta en el caso de la definición del vector vectoriales.

Se acostumbra a definir un espacio vectorial de la siguiente manera: "Sea $K$ sea un campo. Entonces a $K$ -El espacio vectorial es un conjunto $V$ junto con las operaciones $+:V\times V\rightarrow V$ , $\cdot:K\times V\rightarrow V$ , de manera que se cumpla lo siguiente. $[...]$ ". En " $[...]$ " se especifican los axiomas del espacio vectorial. Dado que el enunciado como "un conjunto $A$ juntos con las operaciones $+,\cdot$ " suele significar que consideramos el triple $\left(A,+,\cdot\right)$ , ya que esto "pega" $A$ con las operaciones $+,\cdot$ "juntos".

Por lo tanto, esta definición podría traducirse en una forma un poco más formal decir que "un espacio vectorial es una tupla $\left(V,+,\cdot\right)$ tal que se cumpla lo siguiente: $[...]$ ". Lo que no me parece bien es que en la tupla $\left(V,+,\cdot\right)$ el campo sobre el que tomamos nuestro espacio vectorial, no está presente. Por lo tanto, en realidad no tenemos toda la información que necesitamos, para enunciar los axiomas, si si no asumimos implícitamente que ya sabemos de qué campo hablamos. hablamos.

Nosotros puede saber de qué conjunto subyacente del campo hablamos ya que en el mapeo $\cdot:K\times V\rightarrow V$ El subyacente set $K$ de la campo $K$ (observe que el símbolo $K$ está sobrecargado) está presente, pero que no conocemos $+_{K},\cdot_{K}$ ya que estos definitivamente no están presentes en $\left(V,+,\cdot\right)$ .

Para dar un ejemplo, de $\left(\mathbb{R}^{n},+,\cdot\right)$ nosotros no podemos deducir si es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ o algún otro campo.

1) ¿Es esta una traducción algo más formal de la definición más informal es correcta?

Para reparar esta situación, una solución que se me ocurre sería decir "un espacio vectorial es una tupla $\left(V,+,\cdot,\left(K,+_{K},\cdot_{K}\right)\right)$ , donde $\left(K,+_{K},\cdot_{K}\right)$ es un campo y lo siguiente es válido: $[...]$ ".

Answer 1

Para tomar un ejemplo trillado, considere la implementación de Weiner-Kuratowski de las tuplas. La historia es la siguiente: un par ordenado $(a, b)$ es el conjunto $\{\{a\}, \{a, b\}\}$ y luego un $n+ 1$ -es un par ordenado de su cabeza y su $n$ -Cola de la pareja.

Todo muy familiar. Pero a pesar de la familiaridad, sería muy impar decir que esta implementación hace las cosas "bien", es únicamente "correcta". Eso no se puede decir ni siquiera a nivel inicial de los pares ordenados: al fin y al cabo, $\{\{a\}, \{a, b\}\}$ no está ordenado, en el caso general no tiene dos miembros, y son posibles otras implementaciones de pares igualmente buenas.

Aún así, seguro que para muchos propósitos la implementación Kuratowski de las tuplas funciona bien (aunque no para todos -- si recuerdo, los NF-istas necesitan una implementación diferente). Y el punto se generaliza. Al dar implementaciones teóricas de conjuntos de nociones matemáticas, no buscamos una "corrección" única (sea lo que sea que eso signifique). Sólo buscamos algo que trabajo suficientemente bien, dados nuestros actuales propósitos locales, sean los que sean.

Por lo tanto, si ya se ha establecido cuál es el campo relevante $K$ suministrando los escalares es, entonces no hay nada equivocado con decir que el espacio vectorial es el triple $(V, +, \cdot)$ es decir, en la aplicación habitual de K-W el par $(V, (+, \cdot))$ . Pero la pareja $((V, +), \cdot)$ lo haría igual de bien. Si desea suministrar el campo $K$ explícitamente, entonces su cuádruple sugerido estaría bien. Pero no te equivocarías si escribieras $(V, \times, \cdot, K, +_K, \cdot_K)$ o agrupar las cosas de otra manera. Usted está, para repetir, sólo buscando algo que funciona convenientemente, teniendo en cuenta sus propósitos: no hay ninguna cuestión de corrección única aquí.

Debo añadir, sin embargo, que no tengo muy claro qué nos aporta jugar con tuplas que no obtengamos más claramente de la charla informal inicial de un conjunto dotado de operaciones, etc. ¿Para qué sirve la "formalización"? ¿Qué beneficios reales nos aporta?