¿Qué significa la derivada de una función vectorial?

Question

Suponiendo que tenemos una función vectorial continua y con buen comportamiento $$ R(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle $$ entonces su derivada en un punto arbitrario a es $R'(a)$ que se puede calcular (no voy a usar la definición para no saturar el post) como $$ R'(x) = \langle f'(a), g'(a), h'(a)\rangle $$ Esto da el vector tangente a la curva de la función vectorial, en el punto a.

Pero, ¿qué describe la función definida por R'(t)? He intentado pensar en ello y buscarlo en los libros que tengo, pero no he encontrado respuesta.

Answer 1

Una perspectiva física: si $R(t)$ se refiere a las coordenadas de un objeto en $3$ -espacio dimensional en el tiempo $t$ (para que la curva sea una trayectoria a través del espacio), entonces $R'(t)$ da la velocidad vector del objeto.

En particular, la dirección de $R'(t)$ es la dirección instantánea de desplazamiento en el momento $t$ y la longitud de $R'(t)$ es la velocidad de desplazamiento en el momento $t$ .

Answer 2

La derivada de una función $f:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}^m$ en un punto $x_0$ es el único función lineal $A$ que satisface $$ f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+o(|x_0-x|), $$ donde el pequeño o significa que hay algún término de corrección que es pequeño en términos de $|x_0-x|$ . Poner en palabras, $A$ es la mejor aproximación afín a $f$ en el punto $x_0$ .

Answer 3

La derivada de una función vectorial se define como "la medida del cambio del valor de la función vectorial (valor de salida) por unidad de cambio en el valor de su argumento (valor de entrada) cuando el cambio en el valor del argumento se aproxima a cero". Por ejemplo, si r es el vector de posición de una partícula que cambia con el tiempo, su derivada con respecto al tiempo es (dr(t))/dt y viene dada por (dr(t))/dt= lim(t0)(r(t))/t
\= lim(t0)(r(t+t)-r(t))/t Las derivadas son herramientas fundamentales del cálculo. Por ejemplo, la derivada del vector de posición de un objeto en movimiento con respecto al tiempo es la velocidad del objeto: mide la rapidez con que cambia la posición del objeto cuando avanza el tiempo, es decir V = (dr(t))/dt