Momentos exponenciales del tiempo de retorno esperado en una cadena de Markov irreducible.

Question

Dejemos que $\left( X_n\right)_{n\geqslant0}$ sea una cadena de Markov en un conjunto finito $E$ . Para todos los $x\in E$ definimos el tiempo de retorno a $x$ por $$\tau_x=\inf\left\{n\geqslant1\colon X_n=x\mid X_0=x\right\}.$$

Si la cadena es irreducible, sabemos que para cualquier $x\in E$ tenemos $\mathbb{E}_x\left[\tau_x\right]<\infty$ .

Demuestre que existe $\varepsilon>0$ tal que $$\mathbb{E}_x\left[\exp\left(\varepsilon\tau_x\right)\right]<+\infty$$

Deducir que para todo $p\geqslant1$ , $$\mathbb{E}_x\left[\left(\tau_x\right)^p\right]<+\infty$$

La segunda parte es fácil si tenemos la primera, pero no sé cómo conseguir ésta...

¿Alguna pista?

Answer 1

Pistas: (i) Que $p_{n} = Prob\{\tau_{x} = n\}$ . Entonces $E \exp(\epsilon \tau_{x}) = \sum_{n=1}^{\infty} p_{n} \exp(\epsilon n)$ .

(ii) $\exp(\epsilon n) = [\exp(\epsilon)]^{n}$ .

(iii) $\exp(\epsilon) > 1$ para cualquier $\epsilon > 0$ .

El resto depende de lo que haya aprendido sobre $p_{n}$ .