El exceso de carga en un conductor se desplazaría a la superficie hasta que el campo eléctrico en su interior se hiciera cero si la ley de Coulomb fuera, por ejemplo $\frac{1}{r^3}$ ? En caso afirmativo, ¿la distribución $\sigma(x,y)$ ser diferente de cuando es $\frac{1}{r^2}$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
WetSavannaAnimal aka Rod Vance
Puntos
37985
James Clerk Maxwell pensó en esto y demostró lo siguiente. Supongamos que tenemos dos esferas conductoras concéntricas y cargamos una de ellas hasta un potencial $\Phi$ en relación con algún plano de tierra. Entonces la tensión de la esfera interior respecto a la misma tierra es:
$$\Phi_{inner} = \Phi \,q\, \left(\frac{\rho}{2}\log\left(\frac{\rho+1}{\rho-1}\right)-\frac{1}{2}\log\left(\frac{4\,\rho^2}{\rho^2-1}\right)\right)\quad\quad\quad(1)$$
donde $\rho = r_{outer} / r_{inner}$ es la relación entre los radios de las esferas exteriores e interiores y $q$ es el desviación entre la potencia de $r$ en la ley de Coulomb y 2 . Así, la dependencia radial en la ley de Coulomb es $r^{-(2\pm q)}$ si existe exactamente la dependencia del cuadrado inverso, entonces $q=0$ . Este hecho se ha utilizado para probar la ley de Coulomb con gran precisión, véase:
Si el fotón tiene una masa $m$ , el Coulomb $1/r$ potencial se generaliza a un Potencial de Yukawa :
$$\Phi = -\frac{q}{4\,\pi\,\epsilon_0} \frac{\exp\left(-\frac{m\,c}{\hbar}\,r\right)}{r}\quad\quad\quad(2)$$
y, por tanto, el experimento descrito puede utilizarse para acotar la masa del fotón. Según Wikipedia (ver "Comprobaciones experimentales de la masa del fotón" en la página "Fotón") este límite es $10^{-14}\mathrm{eV}/c^2$ o alrededor de $1.6\times10^{-50}\mathrm{kg}$ , es decir sobre $10^{-20}$ masas de electrones. Así que ahora me gustaría mostrar cómo relacionar el potencial de Coulomb-Yukawa y la masa del fotón, y mostrar cómo interpretar el resultado experimental nulo. Un buen artículo de revisión (al menos a mí me quedó claro) es este:
Es mucho más fácil, y equivalente, hablar de este tipo de cosas en términos de potenciales en lugar de fuerzas (asumiendo que tenemos fuerzas irrotacionales). Además, la siguiente discusión en términos de la masa del fotón es en realidad un marco mucho más sencillo para hablar de las desviaciones directas del postulado $1/r$ potencial de Coulomb que el de Maxwell (por cierto, la expresión de Maxwell (1) se deriva también en el artículo de revisión). En lugar de hablar de una desviación $q$ del poder $1/r^{1\pm q}$ en la ley de potencial de Coulomb a partir de su potencia postulada como hace Maxwell, hablamos de un factor de error multiplicativo $f(r) \approx 1+\epsilon_1\,r\approx e^{\epsilon\,r}$ (la aproximación se mantiene para $r \ll 1/\epsilon$ ) por lo que suponemos que nuestra ley potencial real es $e^{\epsilon\,r}/r$ en lugar de $1/r$ .
La masa del fotón se haría notar al cambiar la ecuación de propagación de los potenciales electromagnéticos de la ecuación de onda sin masa a las ecuaciones de Maxwell-Proca (véase el Página de Wikipedia para "Acción Proca" ):
$$\nabla^2 A_\mu - \frac{1}{c^2}\,\partial_t^2 A_\mu - \left(\frac{m\,c}{\hbar}\right)^2\,A_\mu = -\mu_0 J_\mu\quad\quad\quad(3)$$
donde $J_\mu$ es la fuente de cuatro corrientes para el campo. Para entender que la constante de escala $m^2\,c^2/\hbar^2$ en la nueva legislatura $m^2\,c^2\,A_\mu /\hbar^2$ tiene la interpretación de ser una masa, podemos:
-
Hacer la observación de que en el espacio libre $\hbar^2 \nabla^2 - \hbar^2 \partial_t^2/c^2$ es el operador (observable cuántico) equivalente a la longitud al cuadrado del cuatro-momento $E^2 /c^2 - |\vec{p}|^2$ que es el término propio (masa en reposo) $m^2 c^2$ o
-
Piensa en la solución de la versión de espacio libre de (3) ( $J_\mu = 0$ ) como una descomposición de Fourier en ondas planas: onda plana (número de onda $k$ ), armónico de tiempo (frecuencia $\omega$ ) las soluciones de (3) están definidas por
$$\omega = \pm \sqrt{k^2 +\frac{m^2\,c^2}{\hbar^2}}\,c\quad\quad\quad(4)$$
- que es, por supuesto $\omega = c\,|k|$ cuando la masa es nula, por lo que la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase $c$ . Pero con un número no nulo de $m$ la velocidad del grupo para frecuencias bajas $k \ll m\,c/\hbar$ es cero, y un paquete de ondas puede permanecer aproximadamente quieto durante un tiempo que es proporcional al $m$ plazo.
Por lo tanto, ahora observamos la situación estática ( $\partial_t = 0$ ) para la carga electrostática, de modo que (3) se convierte en
$$\left(\nabla^2 - \left(\frac{m\,c}{\hbar}\right)^2\right)\,\Phi = \frac{\rho}{\epsilon_0}\quad\quad\quad(5)$$
y el potencial de Yukawa (2) es la función de Green relevante para esta ecuación, es decir la solución a
$$\left(\nabla^2 - \left(\frac{m\,c}{\hbar}\right)^2\right)\,\Phi = \delta(\vec{r})\quad\quad\quad(6)$$
por lo que podemos construir campos que surjan de las distribuciones generales de carga $\rho$ por superposición lineal:
$$\Phi(\vec{r}) = -\frac{1}{4\,\pi\,\epsilon_0} \int_V \rho(\vec{r}^\prime)\frac{\exp\left(-\frac{m\,c}{\hbar}\,|\vec{r} -\vec{r}^\prime|\right)}{|\vec{r} -\vec{r}^\prime|}\,\mathrm{d}V^\prime\quad\quad\quad(7)$$
Obsérvese que el campo estático en el espacio libre alejado de la carga para cualquier La distribución de las cargas, cada una con el potencial de Yukawa (2), sigue cumpliendo la ecuación del espacio libre
$$\left(\nabla^2 - \left(\frac{m\,c}{\hbar}\right)^2\right)\,\Phi = 0\quad\quad\quad(8)$$
por superposición lineal: $\nabla^2$ no se ve afectado ni por un desplazamiento del origen ni por una rotación del sistema de coordenadas correspondiente. Obsérvese que no podríamos decir lo mismo si, por ejemplo, tuviéramos $\Phi\propto 1/r^n$ para $n\neq 1$ porque entonces la ecuación diferencial relevante sería:
$$\nabla^2 \Phi -\frac{n\,(n-1)}{r^2} \Phi = 0\quad\quad\quad(9)$$
y el factor $n\,(n-1)/r^2$ seguramente cambia su forma en respuesta a los cambios en el origen. Los potenciales de Coulomb y Yukawa son especiales en la medida en que son la función de Green de ecuaciones diferenciales parciales lineales de coeficiente constante.
Ahora miramos a un conductor hueco. Lo primero que hay que señalar aquí es que los teoremas de unicidad para la ecuación de Laplace y la ecuación de potencial estática de Maxwell-Proca funcionan exactamente igual. Si conocemos el potencial en la frontera $\partial V$ de un volumen $V$ entonces si no hay singularidades en $V$ suponemos que hay dos soluciones de valor real $\phi_1$ y $\phi_2$ con el mismo comportamiento en $\partial V$ y aplicamos el teorema de divergencia de Gauss a $\psi\,\nabla \phi$ donde $\phi = \phi_1-\phi_2$ (observando $\phi$ en $\partial V$ es nulo por suposición):
$$0 = \oint_{\partial V} \phi\,\nabla\phi\cdot \hat{\vec{n}} \mathrm{d}S = \int_V\left( |\nabla \phi|^2 + \phi \nabla^2 \phi\right)\,\mathrm{d} V = \int_V \left(|\nabla \phi|^2 + \frac{m^2\,c^2}{\hbar^2}|\phi|^2\right)\,\mathrm{d} V\quad\quad\quad(10)$$
para que $\phi$ debe ser nulo en todo momento $V$ ya que el integrando en el lado derecho es positivo o nulo, es decir hemos demostrado la unicidad dado que podemos encontrar una solución en primer lugar. Para un conductor perfecto, cualquier carga en su interior se desplazará hasta que no haya ninguna fuerza tangencial a la superficie del conductor ( $i.e.$ las cargas se mueven libremente hasta que son atadas por la superficie), pues de lo contrario podrían reordenarse aún más (moviéndose a lo largo de la superficie). Por lo tanto, el campo eléctrico es siempre ortogonal a la superficie de un conductor; este hecho es independiente de la forma de la ley de Coulomb. Por tanto, la superficie interior de cualquier conductor hueco es siempre una superficie equipotencial, independientemente de la forma de la ley de la fuerza electrostática (siempre que la fuerza de una carga solitaria se dirija radialmente hacia la carga o se aleje de ella). Ahora bien, en el caso del $\Phi = 1/r$ potencial, si el potencial en la superficie interior del hueco es $\Phi_0$ entonces un potencial constante de $\Phi_0$ es una solución de la ecuación de Laplace y, por la discusión anterior, es la única solución que cumple nuestras condiciones de contorno. Así que $\nabla \Phi = 0$ y no hay campo eléctrico dentro del conductor.
Así que ahora hacemos lo mismo para el potencial estático de Maxwell-Proca. Consideramos una esfera hueca de radio $R$ y lo cargamos a un voltaje monstruoso $\Phi_0$ . Entonces una solución axisimétrica no singular de (8) dentro del hueco es:
$$\Phi(r) = \Phi_0\,\frac{R_0\,\sinh\left(\frac{m\,c}{\hbar} r\right)}{r\,\sinh\left(\frac{m\,c}{\hbar} R_0\right)}\quad\quad\quad(11)$$
y, por lo anterior, ésta debe ser la única solución. Obsérvese que, además, las soluciones de este problema son las soluciones de la ecuación de Helmholtz, es decir, las funciones esféricas de Bessel, pero para números de onda imaginarios, ya que la ecuación de potencial estática de Maxwell-Proca es la ecuación de Helmholtz con un número de onda imaginario $k$ . El campo eléctrico dentro de nuestra esfera es:
$$\vec{E}= R_0\,\Phi_0\,\frac{\sinh\left(\frac{m\,c}{\hbar} r\right) - \frac{m\,c\,r}{\hbar} \cosh\left(\frac{m\,c}{\hbar} r\right)}{r^3\,\sinh\left(\frac{m\,c}{\hbar} R_0\right)}\vec{r}\approx \frac{m^2 c^2\,\Phi_0}{3\,\hbar^2}\,\vec{r}\quad\quad\quad(12)$$
Supongamos que cargamos una esfera de un metro de radio a un millón de voltios y medimos la ausencia de campo eléctrico con una sonda justo dentro de la esfera, con una precisión de, digamos, 100 voltios por metro. En ese caso, el experimento ha arrojado un límite superior de la masa del fotón de:
$$m < \sqrt{\frac{3\times 100\mathrm{V\,m^{-1}}}{10^6\mathrm{V}\times1\mathrm{m}}} \times \frac{\hbar}{c} = 6\times 10^{-45}\mathrm{kg}$$
Obsérvese también que, por el teorema de unicidad que hemos visto antes, el resultado experimental no depende de que la esfera sea exactamente esférica. Podemos resolver numéricamente la ecuación de potencial de Maxwell-Proca para esferas distorsionadas y así comprobar la sensibilidad de nuestro experimento a dichas distorsiones.
Las cifras anteriores representan un experimento muy burdo y fácil en un laboratorio moderno de alto voltaje. Como se indica en Wikipedia, la masa fotónica real obtenida por este experimento es unos seis órdenes de magnitud menor que ésta ( $1.6\times10^{-50}\mathrm{kg}$ ), el límite de masa de fotones alcanzable por cualquier método actual (observación del plasma galáctico) es de nuevo unos trece órdenes de magnitud menor ( $10^{-63}\mathrm{kg}$ ) y por último, como se señala en el artículo de Liang-Cheng Tu y Jun Luo, para el universo actual la máxima precisión alcanzable para medir la energía (masa) de algo puede calcularse con la desigualdad de Heisenberg $\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$ con $\Delta t$ ajustado a la edad del universo ( $4\times10^{17}$ segundos), por lo que el límite mínimo de masa alcanzable es $\hbar/(2\,c^2\,\Delta t)\approx 10^{-69}\mathrm{kg}$ .
aceinthehole
Puntos
1460
¿El exceso de carga en un conductor se trasladaría a la superficie hasta que el campo eléctrico en el interior se hiciera cero [...]?
Piensa por un momento en el mecanismo de ese movimiento. Las cargas se mueven porque
- son libres (no están atados)
- existe un campo no nulo, por lo que de $\vec{F}_E = q \vec{E}$ una fuerza sobre ellos
Estos dos hechos son independientes de la forma exacta de las interacciones de Coulomb. Así que la respuesta corta es "Sí".
En caso afirmativo, ¿la distribución $\sigma(x,y)$ ser diferente [...] ?
Claro que sí. WetSavannaAnimal le indicó la dirección de la solución de forma cerrada pero debería ser intuitivamente claro que para obtener la misma condición (ausencia de campo en el interior del conductor) con una forma diferente para el campo la distribución de carga debe ser diferente.
No es que la distribución de la carga pueda no ser estrictamente una distribución de superficie en absoluto, y debería escribirse $\rho(\vec{r})$ .
Sugerencia a la pregunta (v3): Generalizar la pregunta a un $1/r^s$ derecho potencial en $n$ ¡dimensiones espaciales! Entonces, según la respuesta de mathoverflow de Henry Cohn aquí las cargas se precipitan hacia el límite si $s\leq n-2$ . Así que en el ejemplo de OP $(s=2,n=3)$ las cargas no se precipitan hacia el límite, en contraste con el mundo real $(s=1,n=3)$ .
