Estoy tratando de calcular la integral de línea $$\int_{C}(y-z)\,dx+(z-x)\,dy+(x-y)\,dz$$ donde la curva $C$ es la intersección del cilindro $x^2+y^2=1$ y el avión $xz=1$ . Sé cómo hacerlo directamente parametrizando con $\vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, -1+\cos t)$ para $t\in [0,2\pi]$ y luego sustituyendo por $dx$ , $dy$ y $dz$ aunque la solución que he visto dice que hay que mirar $\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}$ pero cómo podría hacer esto y, del mismo modo, cómo podría utilizar el teorema de Stoke si no está escrito como $\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}$ ?
Por la solución, parece que han elegido $\vec{F}=(y-z,z-x,x-y)$ que obviamente se toma del integrando original, pero no veo por qué debería ser así. ¿No tendría que mirar la siguiente integral, calcular el lado derecho y tratar de hacer coincidir las cosas? $$\int_{C}(y-z)\,dx+(z-x)\,dy+(x-y)\,dz=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}$$
Edición: No importa, lo he descubierto. No me di cuenta $d\vec{r}=(dx,dy,dz)$ ya que sólo había visto la definición como $\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}'(t)\,dt$ . ¡Mi error!
