Sobre la prueba $ a^6 + b^6 + c^ 6 − 3a ^2 b^ 2 c^ 2 + 2(a^ 2 + bc)(b ^2 + ca)(c^ 2 + ab) ≥ 0 $ donde $a,b,c$ son números reales.

Question

En este problema, hice algunas observaciones y luego comencé a resolver.
Aquí una nota importante es que la desigualdad es trivial para $a,b,c\ge0$ y $a,b,c\le0$ y la desigualdad es simétrica.
Otra observación: Los casos de trabajo cuando uno es negativo o uno es positivo son los mismos.
Supongamos que WLOG $a\ge b\ge c$ cuando uno es negativo. Así que tenemos que demostrar que $-$ $$ a^6 + b^6 + c^ 6 − 3a ^2 b^ 2 c^ 2 + 2(a^ 2 - bc)(b ^2 - ca)(c^ 2 + ab) ≥ 0 $$ Supongamos por el contrario que WLOG $c\ge b\ge a$ cuando uno es positivo. Así que tenemos que demostrar que $-$ $$ a^6 + b^6 + c^ 6 − 3a ^2 b^ 2 c^ 2 + 2(a^ 2 - bc)(b ^2 - ca)(c^ 2 + ab) ≥ 0 $$ Que son los mismos. Trabajando cualquiera podría hacerlo. En ambos casos, $a,b,c\ge0$ . Digamos que hago el primero. $$ a^6 + b^6 + c^ 6 − 3a ^2 b^ 2 c^ 2 - 2 a^4 b c + 2 a^3 b^3 - 2 a^3 c^3 + 4 a^2 b^2 c^2 - 2 a b^4 c + 2 a b c^4 - 2 b^3 c^3 \ge 0 $$ $$ a^6 + b^6 + c^ 6 + 2 a^3 b^3 + a ^2 b^ 2 c^ 2+ 2 a b c^4 \ge 2 a^4 b c + 2 a^3 c^3 + 2 a b^4 c + 2 b^3 c^3 $$ ¿Cómo demostrarlo? Gracias.

Answer 1

En el libro de Vasile Cirtoaje DESIGUALDADES POLINÓMICAS SIMÉTRICAS