Encuentre $\int x^2\arcsin(2x)dx$

Question

Encuentre $\int x^2\arcsin(2x)dx$

Mi trabajo.

$\frac{1}{3}\int \arcsin(2x)dx^3=\frac{1}{3}(x^3\arcsin(2x)dx-\int x^3d(\arcsin(2x))$

Esto permite encontrar $\int \frac{2x^3}{\sqrt{(1-4x^2)}}dx$ con el que tengo problemas para encontrar.

$Edit$

$x=\frac{1}{2}sin\theta$

$\frac{2}{8}\int\frac{sin^3\theta cos\theta d\theta}{\sqrt{1-sin^2\theta}} = \frac{2}{8}\int\frac{sin^3\theta cos\theta d\theta}{|cos\theta|}$

Ahora, ¿qué debo hacer con $|cosx|?$ Es $cosx$ o $-cosx$ .

Answer 1

Utilizando la integración por partes:

$\int u\mathrm dv= uv-\int v\mathrm du$

$u=\arcsin {2x} \implies \mathrm du=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

$\,dv=x^2 \mathrm dx \implies v=\frac{x^3}{3}$

$\int x^2 \arcsin{2x}\mathrm dx=\frac{x^3}{3}\arcsin {2x}-\int { \frac{2x^3}{3\sqrt{1-4x^2}}\mathrm dx}=\frac{x^3}{3}\arcsin {2x}+\frac{1}{72}(3\sqrt {1-4x^2} - (1-4x^2)\sqrt {1-4x^2})+c$

$\int { \frac{2x^3}{3\sqrt{1-4x^2}}\mathrm dx}=-\frac{1}{48}\int \frac {1-t}{\sqrt t}\mathrm dt=-\frac{1}{72}(3\sqrt t - t\sqrt t)+c=-\frac{1}{72}(3\sqrt {1-4x^2} - (1-4x^2)\sqrt {1-4x^2})+c$

$t=1-4x^2\implies \mathrm dt= -8x \mathrm dx$

Answer 2

Me gustaría mostrarte mi forma de calcular $\int x^2 \arcsin 2x$ .

En primer lugar, dejemos que $t=arcsin 2x$ . Obtenemos $$\int x^2 \arcsin 2x=\int \frac18 \sin^2 t \cdot t \cdot \cos t dt$$ .

Utilizando la integración partical dos veces, obtenemos la siguiente ecuación $$\int \frac18 \sin^2 t \cdot t \cdot t\cos t dt=\frac{1}{24}t\sin^3t-\int\frac{1}{24}sin^3tdt\\ =\frac{1}{24}t\sin^3t+\frac{1}{24}\cos t\sin^2t-\int\frac{1}{12}\sin t\cos^2 tdt \\ =\frac{1}{24}t\sin^3t+\frac{1}{24}\cos t\sin^2t-\frac{1}{12}\int\sin t+\frac{1}{12}\int \sin^3 tdt$$

a partir del primer signo igual y del último signo igual, podemos encontrar $$-\frac{1}{24}\int \sin^3tdt=\frac{1}{24}\cos t\sin^2t-\frac{1}{12}\int\sin t+\frac{1}{12}\int \sin^3 tdt$$ .

Así que puedes conseguir $$\int \sin^3 tdt=\frac13 \cos t\sin^2 t+\frac23\cos t$$

entonces puedes conseguir $\int x^2 \arcsin 2x dx$ tomando $t=\arcsin 2x$ en la ecuación.

Answer 3

$\frac1{36} (\sqrt{1 - 4 x^2} (1 + 2 x^2) + 12 x^3 \arcsin{2 x})$

Se puede encontrar por integración parcial doble.