¿Puede sugerir algunas cosas útiles que podamos hacer con las derivadas de orden superior?
Un compañero de mi clase de Cálculo y Geometría Analítica I me preguntó cuáles son algunas aplicaciones de orden superior (por ejemplo, ( $y^{(n)}$ , $n\geq 4$ ) ) los derivados pueden ser. Nuestro instructor (profesor de nivel de maestría) no conocía ninguno. Me da curiosidad...
Esta pregunta no requiere un ejemplo riguroso, sólo conceptos ilustrativos.
Gracias.
Si $y(t)$ denota la posición en el momento $t$ entonces:
Las derivadas quinta y sexta de la posición también son importantes en algunas aplicaciones/estudios de física teórica, pero no tienen un nombre universalmente aceptado.
También puede ver este artículo de la revista Proceedings of the National Academy of Sciences discutir el uso de la quinta derivada y el ajuste de curvas para hacer análisis de ADN y cotejo de poblaciones.
Y las derivadas superiores también se utilizan para aproximar funciones mediante polinomios de Taylor, que pueden ser útiles cuando se requiere cierta precisión.
El Ecuación de Euler-Bernoulli que describe la relación entre la deflexión de una viga y la carga aplicada, implica una 4ª derivada.
Siempre que vea productos de $\pi$ y la constante gravitacional $G$ aparecen en las ecuaciones (términos como $4\pi G$ , $8\pi G$ o $16\pi G$ ), date cuenta de que esto se debe a que Sir Isaac no puso una superficie en lugar del cuadrado del radio en el denominador de su ley de la gravedad. Por no utilizar la ecuación de la gravedad "corregida": $$F = G' \frac{m_1 m_2}{4 \pi r^2}$$ y continuando con $G$ en lugar de $G' = 4 \pi G$ causó un factor de diversión de $4\pi$ que aparezca en la formulación de Poisson (potencial) para la gravedad newtoniana: $$\nabla^2 \phi = -4\pi G \rho.$$ Todo esto sugiere $G' = 4 \pi G$ para ser la "verdadera" constante gravitacional. Cuando se utiliza en la primera ecuación de Friedmann el factor $8 \pi G/3$ sería sustituido por $\frac{2}{3}G'$ .
Basándose en el trabajo de Einstein, otros podrían argumentar que $8 \pi G$ o $16 \pi G$ son "más fundamentales", pero en cualquier caso sería ciertamente significativo absorber un factor $\pi$ junto con alguna potencia de dos en la constante gravitacional.
A veces nos gustaría obtener un esbozo de una función alrededor de algún punto $x=a$ pero la función es muy "plana" en ese punto - después de calcular las primeras derivadas obtenemos $ f(a) = f'(a) =f''(a) = f^{(3)}(a) = f^{ (4)}(a) = 0 $ , lo que significa que, asumiendo finalmente $ f^{(5)} \neq 0 $ la función se comporta como $$ \frac{ f^{(5)}(a)}{5!} (x-a)^5 $$
cerca de ese punto. Por lo tanto, si el $5$ -La derivada de la primera es positiva en $a$ la forma es aproximadamente como la de $x^5$ en el origen, y si la derivada es negativa entonces la forma es como la de $-x^5$ en el origen.
Un ejemplo que se me ocurre cuando esto surge es en el estudio de la estabilidad de los puntos de equilibrio de las ecuaciones diferenciales. La estabilidad de los equilibrios viene determinada por el comportamiento cerca de $x=a$ que se determina en parte por el signo de la primera derivada no nula evaluada en el punto de equilibrio.
Respuesta #8 dijo:
La tercera derivada, y′′(t), denota el tirón o sacudida en el tiempo t, una cantidad importante en ingeniería y control de movimiento
Hay que tener en cuenta que las máquinas de control de movimiento se controlan mediante ecuaciones en diferencia que sólo pueden aproximar y(t), y'(t), y''(t), e y'''(t). Pero esto es cierto para cualquier aplicación que conecte varios órdenes de derivadas con procesos causales que interactúan con el mundo real.
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