La propiedad afín de las conexiones en los haces vectoriales

Question

Dadas dos conexiones cualesquiera $\nabla_1, \nabla_2: \Omega^0 (V) \to \Omega^1 (V)$ en un haz de vectores $V \to M$ su diferencia $\nabla_1 - \nabla_2$ es un $C^\infty (M)$ -mapa lineal $\Omega^0 (V) \to \Omega^1 (V)$ .

Pregunta: Me cuesta tragarme la insinuación de que $\nabla_1 - \nabla_2 \in \Omega^1 (\text{End } V)$ .

Por supuesto, $\Omega^1 (\text{End } V) = \Gamma (T^\ast M \otimes \text{End } V)$ , por lo que esto está diciendo que $\nabla_1 - \nabla_2$ es una 1 forma valorada por endomorfismo. Además, dada cualquier sección $s \in \Omega^0 (V)$ la diferencia $(\nabla_1 - \nabla_2) s$ en cualquier punto $m \in M$ está completamente determinado por el valor $s(m)$ es decir, el operador $(\nabla_1 - \nabla_2) |_m$ es un endomorfismo de la fibra $V|_m$ pero no veo cómo esto es relevante, todavía...

Answer 1

Dejemos que $E$ y $F$ sean haces vectoriales sobre una variedad $M$ y supongamos que tengo un $C^\infty (M)$ -mapa lineal de secciones globales $\alpha : \Gamma (M, E) \to \Gamma (M, F)$ . Yo reclamo esto $\alpha$ es inducido por un homomorfismo único de haces vectoriales $A : E \to F$ .

En efecto, dejemos que $\vec{v}$ sea un vector en la fibra $E_p$ . Tomando una trivialización local y luego multiplicando por una función de choque, puedo obtener una sección global $X \in \Gamma (M, E)$ tal que $X |_p = \vec{v}$ . Definir $A (\vec{v}) = \alpha(X) |_p$ . Esto es independiente de la elección de $X$ : si $Y$ es cualquier otra sección global de $E$ con $Y |_p = \vec{v}$ entonces $(X - Y) |_p = \vec{0}$ por lo que existe una función suave $f : M \to \mathbb{R}$ y una sección global $Z$ tal que $f(p) = 0$ y $f Z = X - Y$ . Pero entonces $C^\infty (M)$ -La linealidad implica $$\alpha(X) = \alpha(X - Y) + \alpha(Y) = \alpha(f Z) + \alpha(Y) = f \alpha(Z) + \alpha(Y)$$ por lo que al evaluar en $p$ obtenemos $\alpha(X) |_p = \alpha(Y) |_p$ como se ha reclamado. Verificando que $A$ es efectivamente un homomorfismo de haz vectorial es sencillo, y la unicidad es obvia.

Answer 2

Según el artículo Connection_(vector_bundle) de Wikipedia, las conexiones son $R$ -mapa lineal de $\Gamma(E)$ a $\Gamma (T^\ast M \otimes E)$ (ambos son $C^\infty(M)$ -), pero no $C^\infty(M)$ -mapa lineal desde:

$$\nabla(fσ)=f\nabla σ+df\otimes σ$$

Aquí $f \in C^\infty(M)$ el segundo término hace que no $C^\infty (M)$ -lineal.

Pero la sustracción de dos conexiones eliminó el segundo término convirtiéndolo en un $C^\infty (M)$ -mapa lineal entre $C^\infty(M)$ -módulos $\Gamma(E)$ y $\Gamma (T^\ast M \otimes E)$ . Así que $$\nabla_1 - \nabla_2 \in Hom_{C^\infty(M)}(\Gamma(E),\Gamma (T^\ast M \otimes E))$$

También

$$Hom_{C^\infty(M)}(\Gamma(E),\Gamma(T^\ast M \otimes E)) \\\cong \Gamma(E)^*\otimes \Gamma(T^\ast M \otimes E) \\\cong \Gamma(E^*)\otimes \Gamma(T^\ast M \otimes E) \\\cong \Gamma(T^\ast M\otimes (E\otimes E^*)) \\\cong \Gamma(T^\ast M\otimes \text{End }E)$$

Entonces

$$\nabla_1 - \nabla_2 \in \Gamma(T^\ast M\otimes \text{End }E)=:\Omega^1 (M,\text{End } E)$$