Si $f \circ g$ es la identidad, ¿es siempre cierto que g es la inversa de f?

Question

Parece lógico, por definición, que $f \circ f^{-1} = I$ Pero, de nuevo, puede que no esté leyendo la definición correctamente y me pregunto si hay algún contraejemplo de esto.

Answer 1

Se puede encontrar un contraejemplo con las funciones $\mathbb N\to \mathbb N$ . Si $f(n)=2n$ y $g(n)=\frac{n}{2}$ para incluso $n$ y $0$ en caso contrario, entonces $g\circ f$ es la identidad, pero $f\circ g$ no lo es.

Se pueden hacer muchas analogías para este ejemplo simplista.

Por ejemplo, si se considera el conjunto de polinomios reales $\mathbb R[x]$ como funciones, y se toma $f(p)=\int_0^x p(t)dt$ y $g(p)=\frac{dp}{dx}$ entonces el teorema fundamental del cálculo dice $(g\circ f)(p) =p$ para todos los polinomios $p$ para que $g$ invierte $f$ a la izquierda. Pero por supuesto $f\circ g$ no es la identidad en los polinomios constantes. Estos dos mapas son pares $\mathbb R$ -mapas de espacio vectorial lineal.

Si crees que entiendes muy bien los mapas lineales, puedes hacer otro ejemplo muy parecido al anterior fijando una base $\{b_i\mid i\in \mathbb N\}$ de un espacio vectorial de dimensión infinita, y luego elegir $f$ para ser el mapa lineal que envía $b_i\to b_{i+1}$ para todos $i$ y elija $g$ para ser el mapa lineal que envía $b_0\to 0$ y $b_i\to b_{i-1}$ para $i>0$ . Una vez más, se obtiene que $g\circ f$ es la identidad, pero $f\circ g$ no lo es.

Otra cosa que puedes observar en los ejemplos anteriores es que puedes ajustar $g$ y obtener infinitamente diferentes $g$ de tal manera que $g\circ f$ es la identidad. Esto no es posible cuando $f$ tiene un inverso de dos lados: en ese punto, los inversos de ambos lados son iguales y únicos.

Answer 2

No, si sólo sabemos $f\circ g=1$ no podemos concluir que $f$ y $g$ son inversas, sino sólo la conclusión más débil de que $g$ es una sección o un inverso de la derecha de $f$ . (Equivalentemente $g$ es un repliegue o inverso a la izquierda de $f$ )

Se necesitan ambas condiciones $f\circ g= 1$ y $g\circ f=1$ para concluir que son inversos. En realidad, basta con demostrar que $f$ tiene un inverso a la derecha y un inverso a la izquierda. Entonces se garantiza que los dos son iguales por lo que $f$ tiene un inverso.

Por ejemplo, dejemos que $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ proyectar el plano hasta la línea para que $f(x,y) =x$ y que $g$ sea la inclusión de la línea de vuelta al plano, $g(x)=(x,0)$ . Entonces $f\circ g = 1$ (ya que $f(g(x))=x$ ) pero $g\circ f$ no lo es (ya que $g(f(x,y))=(x,0)\neq (x,y)$ si $y\neq 0$ ), por lo que no son inversos.

Answer 3

No. También $g\circ f$ debe ser la identidad. Si $f,g$ se consideran en un grupo no conmutativo, el inverso de la derecha y el de la izquierda pueden ser diferentes.

De hecho, en el caso más general, $g$ se define como la inversa de $f$ si $f\circ g=g\circ f=I$

Answer 4

Pista: Deberías ser capaz de demostrar que una función tiene una inversa en un lado si y sólo si es inyectiva (uno a uno), y en el otro lado si y sólo si es sobreyectiva (en). Así que tener una inversa es equivalente a tener una inversa en cada lado, y a la biyectividad.

Un ejemplo para una parte de esto. Consideremos la función de $\{1,2\}$ a $\{3\}$ que asigna todo a $3$ .