Resolver $y'' - \frac{1}{x} y' + (1+\frac{\cot x}{x}) y = 0$ por reducción de rango

Question

Con la sustitución $$y(x) = \sin x \int u(x) \, dx\tag{*}$$ Me las arreglé para llegar a $$u'(x) = \left(\frac{1}{x}-2\cot x\right)u(x)$$ Resolver lo que me dio $$u(x) = C_1 \frac{x}{\sin^2 x}$$ Insertando eso de nuevo en $(*)$ $$y(x) = (\sin x) C_1\int \frac{x}{\sin^2 x} \, dx = (\sin x) C_1 \left(\log(\sin x) - \frac{x}{\cot x} + C_2\right)$$

Lo que no parece ser la(s) solución(es) correcta(s). Sin embargo, no sé dónde me he equivocado.

Answer 1

Tenemos un teorema:

Existe un conjunto fundamental de soluciones para una ecuación lineal diferencial 2 homogénea $a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0$ en un intervalo $I$ .

Tienes una ecuación diferencial homogénea de segundo orden que además es lineal. Esto es esencial para tener un conjunto independiente de soluciones $\{y_1(x),y_2(x)\}$ para más objetivos. Como ha señalado, existe un método en el que podemos construir una segunda solución a partir de una solución conocida de forma que este último conjunto sea un conjunto fundamental (lo que se denomina reducir el orden). Se puede demostrar que si $y_1(x)$ es una solución conocida, entonces la segunda que satisface el teorema es $$y_2(x)=y_1(x)\int\frac{e^{-\int\frac{a_1(x)}{a_2(x)}dx}}{y_1^2(x)}dx$$

Así que en su ecuación tenemos $$y_2=\sin(x)\int\frac{e^{\int\frac{1}{x}dx}}{\sin^2(x)}dx=\sin(x)\int\frac{x}{\sin^2(x)}dx$$ $$y_2=\sin(x)(-x\cot(x)+\ln(\sin(x)))=-x\cos(x)+\sin(x)\ln(\sin(x))$$ Ahora, su solución general es como $y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$ .

Answer 2

$$y(x) = \sin(x) \int_0^x u(t) dt \implies y'(x) = \cos(x) \int_0^x u(t) dt + \sin(x) u(x)$$ $$y''(x) = -\sin(x) \int_0^x u(t) dt + \cos(x) u(x) + \cos(x) u(x) + \sin(x) u'(x)\\ = \sin(x) \left( u'(x)-\int_0^x u(t) dt\right) +2 \cos(x) u(x)$$ Por lo tanto, $$y''(x) + y(x) = \sin(x) u'(x) +2 \cos(x) u(x)$$ $$-y' + \cot(x) y = -\sin(x) u(x)$$ \begin{align} y''(x) - \dfrac{y'(x)}x + \left(1 + \dfrac{\cot(x)}x \right)y(x) & = \sin(x) u'(x)- \sin(x) \dfrac{u(x)}x +2 \cos(x) u(x)\\ & = \sin(x) \left( u'(x) - \dfrac{u(x)}x\right) +2 \cos(x) u(x) \end{align} Por lo tanto, obtenemos que $$u'(x) + \left( 2 \cot(x) - \dfrac1x\right) u(x) = 0$$ Ahora deberías ser capaz de terminarlo. Por lo tanto, obtenemos que $u(x) = c\dfrac{x}{\sin^2(x)}$ . Por lo tanto, $$y(x) = c \sin(x) \int_0^x \dfrac{t}{\sin^2(t)} dt$$ El error está en la realización de la integral. $$\int \dfrac{t}{\sin^2(t)}dt = \log(\sin(t)) - t \cot(t) + k$$ Ahora debería obtener la solución adecuada.