¿Cómo se comparan las posibilidades de ganar la partida A con las de ganar la partida B?

Question

Una moneda está sesgada de tal manera que en cada lanzamiento la probabilidad de salir cara es $\frac{2}{3}$ y la probabilidad de cola es $\frac{1}{3}$ . Los resultados de los lanzamientos son independientes. Un jugador tiene la opción de jugar al Juego A o al Juego B. En el Juego A lanza la moneda tres veces y gana si los tres resultados son iguales. En el juego B, lanza la moneda cuatro veces y gana si los resultados del primer y segundo lanzamiento son iguales y los resultados del tercer y cuarto lanzamiento son iguales. ¿Cómo se comparan las posibilidades de ganar el juego A con las posibilidades de ganar el juego B?

A La probabilidad de ganar la partida A es $\frac{4}{81}$ menos que la probabilidad de ganar el Juego B.

B La probabilidad de ganar la partida A es $\frac{2}{81}$ menos que la probabilidad de ganar el Juego B.

C Las probabilidades son las mismas.

D La probabilidad de ganar la partida A es $\frac{2}{81}$ mayor que la probabilidad de ganar la partida B.

E La probabilidad de ganar la partida A es $\frac{4}{81}$ mayor que la probabilidad de ganar la partida B.

Dejemos que H denote obtener cabezas y T denote obtener cuentos. Para el juego A, la probabilidad de ganar es obtener HHH o TTT. El primer resultado tiene una probabilidad de $(\frac{2}{3})^3$ y el segundo tiene una probabilidad de $(\frac{1}{3})^3$ . Al sumarlos se obtiene P(Ganar A) = $\frac{27}{81}$ .

Para el juego B, el jugador puede ganar consiguiendo HHTT o TTHH. Así que podemos hacer $(\frac{2}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot 2$ (ya que podemos contar con uno de HHTT y duplicarlo para obtener el otro), lo que da $\frac{8}{81}$ . Sin embargo, ninguna de las respuestas A-E parece ajustarse a lo que tengo. ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Para el Juego A, ganar corresponde a obtener $3$ cabezas en una fila o $3$ colas en una fila. Estas tienen probabilidades $(2/3)^3$ y $(1/3)^3$ respectivamente. Esto significa que la probabilidad de ganar el Juego A es, como usted calculó correctamente,

$$\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{3}$$

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Para el Juego B, ganar corresponde a una de estas cuatro combinaciones: HHHH, TTTT, HHTT, TTHH. Estas tienen probabilidades $(2/3)^4$ , $(1/3)^4$ , $(2/3)^2(1/3)^2$ y $(2/3)^2(1/3)^2$ respectivamente. Esto significa que la probabilidad de ganar la partida A es $$\left(\frac{2}{3}\right)^4 + \left(\frac{1}{3}\right)^4 + \left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^2+ \left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{16+1+4+4}{81} = \frac{25}{81}$$

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Por tanto, la diferencia entre la probabilidad de ganar la partida A y la de ganar la partida B es $$\left|\frac{25}{81}-\frac{1}{3}\right| = \boxed{\frac{2}{81}\,}$$