Problema de combinación simple

Question

En mi formación matemática en la escuela no se enseña la probabilidad, así que esta pregunta podría ser muy sencilla de responder. Tengo cinco amigos íntimos y todos queremos almorzar juntos. Mi escuela tiene 3 almuerzos, A, B y C. Sabemos que esto probablemente no sucederá, pero me preguntaba cuál sería la probabilidad de que exactamente dos, tres, cuatro o cinco de nosotros almorzaran juntos.

Para que dos de nosotros almuercen juntos: La probabilidad de que me toque un almuerzo específico A, B o C es de 1/3. Puedo aplicar esta lógica a dos personas que almuerzan juntas como 1/9. Pero sé que, independientemente de las combinaciones de personas en los almuerzos, es más raro que una persona esté sola en el almuerzo que dos personas estén solas, pero estoy muy inseguro de mi pensamiento.

Answer 1

¿En cuántos casos cada almuerzo es consumido por $2$ personas cada una? (lo representamos por $(2,2,2)$ . Bueno, hay ${6 \choose 2} = 15$ formas de elegir a dos personas para almorzar $A$ y luego ${4 \choose 2}=6$ formas de elegir a dos personas para almorzar $B$ , dejando a los demás con la comida $C$ . Así que eso es $15*6=90$ posibilidades.

Como otro ejemplo: qué tal si 3 personas comen un almuerzo, otras 2 personas comen un almuerzo diferente, y la última persona come el tercer tipo de almuerzo (esto sería $(3,2,1)$ ? Bien, consideremos primero el caso en el que el $3$ la gente almuerza $A$ Los dos siguientes almuerzan $B$ y la última persona come el almuerzo $C$ . Hay ${6 \choose 3} = 20$ formas de elegir a tres personas para almorzar $A$ y luego ${3 \choose 2}=3$ formas de elegir a dos personas para almorzar $B$ , dejando a la última persona con el almuerzo $C$ . Así que eso es $60$ posibilidades. Por supuesto, lo mismo ocurre con $3$ gente almorzando $B$ , 2 personas almorzando $C$ y $1$ persona almorzando $A$ . Dado que hay $6$ diferentes formas de cambiar esto, se obtiene un total de $360$ posibles formas de $3$ personas comiendo un almuerzo, $2$ otras personas comiendo un almuerzo diferente, y la última persona comiendo el tercer tipo de almuerzo.

Del mismo modo, podemos encontrar los números de las diferentes posibilidades:

$(2,2,2)$ : ${6 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} = 15 \cdot 6 = 90$

$(3,2,1)$ : ${6 \choose 3} \cdot {3 \choose 2} \cdot 6 = 360$ (el resultado más probable .. esto sucede casi la mitad del tiempo)

$(3,3,0)$ : ${6 \choose 3} \cdot 3 = 20 \cdot 3 = 60$

$(4,2,0)$ : ${6 \choose 4} \cdot 6 = 15 * 6 = 90$

$(4,1,1)$ : ${6 \choose 4} \cdot {2 \choose 1} \cdot 3 = 15 * 2 * 3 = 90$

$(5,1,0)$ : ${6 \choose 5} \cdot 6 = 6 \cdot 6 = 36$

$(6,0,0)$ : ${6 \choose 6} \cdot 3 =3$

Total: $729$ posibilidades, que de hecho es igual a $3^6$ *(¡Control de cordura!)

Si quieres las probabilidades de estos eventos, sólo tienes que dividir el número de formas posibles en que estos eventos pueden tener lugar por $729$ . Así, por ejemplo, $P(3,2,1)=\frac{360}{729} \approx 49.3$ %