Combinatoria. Encuentra el número de caminos....... Necesita una explicación

Question

Encuentra el número de formas de ordenar los números $ 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2$ para que ningún arreglo contenga nunca tres enteros consecutivos que sean iguales.

Tengo la solución pero no la entiendo. ¿Puedes explicar cómo es 7!/3!3! y cómo es 5!/3 ] 1

Answer 1

El recuento de las formas de organizar $\{A,A,A,B,B,B, [CCC]\}$ donde el bloque de tres dígitos, $[CCC]$ es inseparable (una unidad), es: $$\dfrac{7!}{3!~3!~\color{silver}{1!}}$$

Este es el recuento de formas de seleccionar $3$ de $7$ plazas para el $A$ , $3$ de los restantes $4$ plazas para el $B$ y todos los $C$ entrar en el último lugar que queda.   Como una unidad es inseparable, sólo ocupa un lugar.

Hacemos lo mismo para contar las formas de arreglar $\{A,A,A,[BBB], [CCC]\}$ .   Contamos formas de seleccionar $3$ de $5$ plazas para el $A$ , seleccione $1$ de los restantes $2$ lugares para poner todos los $B$ y todos los $C$ ir en el último lugar que queda. $$\dfrac{5!}{3!~\color{silver}{1!}~\color{silver}{1!}}$$

Por último, el recuento de las formas de organizar $\{[AAA],[BBB],[CCC]\}$ es sólo $3!$ .

Sólo queda seleccionar qué dígitos están bloqueados o no, y juntarlo todo utilizando el Principio de Inclusión y Exclusión. $$\frac{9!}{3!^3}-\binom{3}{1}\frac{7!}{3!^2}+\binom{3}{2}\frac{5!}{3!}-3!$$

Answer 2

Contemos el número de arreglos que contienen $000$ . Temporalmente etiquetaremos los otros seis personajes de forma individual: $1_1,1_2,1_3,2_1,2_2,2_3$ y consideraremos $000$ un carácter único e indivisible. Eso nos da un total de $7$ personajes para arreglar, algo que podemos hacer en $7!$ diferentes maneras. Sin embargo, los acuerdos $0001_12_11_22_21_32_3$ y $0001_32_11_12_21_22_3$ no deben contarse por separado: cuando eliminamos los subíndices distintivos de los unos y los dos, ambos se convierten simplemente en $000121212$ . Está claro que hemos contado de más, y la pregunta es por cuánto.

Tome cualquier acuerdo con $000$ ; usaré $000121212$ como ejemplo. Cuando los unos y los dos todavía estaban etiquetados con subíndices, los unos podrían haber ocupado sus tres posiciones en esta disposición en cualquier permutación, es decir, en cualquiera de los $3!$ posibles pedidos: $0001_121_221_32$ , $0001_121_321_22$ , $0001_221_121_32$ , $0001_221_321_12$ , $0001_321_121_22$ y $0001_321_221_12$ . Del mismo modo, los tres pares etiquetados podrían haberse colocado en sus tres ranuras en cualquiera de los $3!$ posibles permutaciones. Por lo tanto, esta disposición corresponde a $3!\cdot3!$ permutaciones de la $7$ caracteres $000$ y $1_1,1_2,1_3,2_1,2_2,2_3$ . Hemos contado cada arreglo $3!\cdot3!$ veces, por lo que el número real de arreglos es sólo $\frac{7!}{3!3!}$ .

En el siguiente paso se utiliza exactamente el mismo tipo de razonamiento. Si tratamos $000$ y $111$ como unidades y etiquetar temporalmente los dos $2_1,2_2$ y $2_3$ En total, tenemos cinco caracteres, que se pueden organizar en $5!$ diferentes maneras. Cuando nos olvidamos de las etiquetas de los dos, obtenemos un arreglo como $111200022$ por ejemplo. Pero hay seis diferentes disposiciones de los cinco personajes $000,111,2_1,2_2$ y $2_3$ que producen el mismo resultado, uno para cada permutación de los tres pares. Así, nuestra cifra de $5!$ cuenta el arreglo $111200022$ (y cualquier otro acuerdo de este tipo) seis veces, una por cada $3!$ formas en que la $3$ etiquetados como dos podrían ser insertados en ese arreglo. Hemos contado de más por un factor de $3!$ , por lo que el recuento correcto es $\frac{5!}{3!}$ .

Answer 3

Le site $\frac {7!}{3!3!}$ viene de considerar los tres números $iii$ como una unidad. Ahora tiene siete elementos, el grupo $iii$ y los otros seis números. Se pueden ordenar de esta forma, porque se tienen dos grupos de tres elementos idénticos. La fracción {5!}{3!} surge de la agrupación de dos grupos de números, por lo que hay cinco elementos, los dos grupos y los otros tres números, de los cuales un grupo de tres es idéntico.