Looonnng -insinuación de la persona: Hay que admitir que el trabajo de abajo está muy alejado del álgebra para llegar a un valor final explícito para la integral deseada, pero creo que cubre la parte más difícil de la derivación y el resto es sencillo, aunque tedioso.
Dado $z>y>p>a>b>c>d$ definan la integral elíptica $$\mathcal{E}:=\int_{y}^{z}\frac{1}{x-p}\sqrt{\frac{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-d\right)}{x-c}}\,\mathrm{d}x.$$
Como ha señalado en su pregunta, ya que la singularidad en $p$ está en el intervalo $(a,\infty)$ no podemos escribir $\mathcal{E}$ como la diferencia de integrales $\int_{y}^{z}=\int_{a}^{z}-\int_{a}^{y}$ cuando los límites $y$ y $z$ son mayores que $p$ . Otra opción es escribir $\mathcal{E}$ como una diferencia de integrales con límites en $+\infty$ en lugar de $a$ . Esto evita el problema de tener que integrar sobre una singularidad, pero hay un nuevo problema en que estas integrales divergen. Pero podemos solucionarlo....
En primer lugar, hay que tener en cuenta la siguiente descomposición parcial de la fracción:
$$\begin{align} \small{\frac{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-d\right)}{x-p}} &=\small{\frac{x^{3}-\left(a+b+d\right)x^{2}+\left(ab+ad+bd\right)x-abd}{x-p}}\\ &=\small{x^{2}+\frac{\left(p-a-b-d\right)x^{2}+\left(ab+ad+bd\right)x-abd}{x-p}}\\ &=\small{x^{2}+\left(p-a-b-d\right)x}\\ &~\small{+\frac{\left(p^{2}-pa-pb-pd+ab+ad+bd\right)x-abd}{x-p}}\\ &=\small{x^{2}+\left(p-a-b-d\right)x+\left(p^{2}-pa-pb-pd+ab+ad+bd\right)}\\ &~\small{+\frac{\left(p^{2}-pa-pb-pd+ab+ad+bd\right)p-abd}{x-p}}\\ &=\small{x^{2}+\left(p-a-b-d\right)x+\left(p^{2}-pa-pb-pd+ab+ad+bd\right)}\\ &~\small{+\frac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-d\right)}{x-p}}.\\ \end{align}$$
El primer paso para poner la integral elíptica en algo más cercano a la forma estándar es reescribir el integrando a través de la racionalización para que haya un único factor de raíz cuadrada en el denominador con un cuártico bajo el radical.
Dejar $Q{\left(x\right)}$ representan el cuarteto,
$$Q{\left(x\right)}:=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right),$$
descomponemos la integral elíptica $\mathcal{E}$ en una suma de cuatro integrales más simples utilizando la expansión de fracciones parciales dada anteriormente:
$$\begin{align} \mathcal{E} &=\int_{y}^{z}\frac{1}{x-p}\sqrt{\frac{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-d\right)}{x-c}}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{y}^{z}\frac{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-d\right)}{\left(x-p\right)\sqrt{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)}}\,\mathrm{d}x\\ &=\left(p^{2}-pa-pb-pd+ab+ad+bd\right)\int_{y}^{z}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{Q{\left(x\right)}}}\\ &~+\left(p-a-b-d\right)\int_{y}^{z}\frac{x}{\sqrt{Q{\left(x\right)}}}\,\mathrm{d}x+\int_{y}^{z}\frac{x^{2}}{\sqrt{Q{\left(x\right)}}}\,\mathrm{d}x\\ &~+\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-d\right)\int_{y}^{z}\frac{\mathrm{d}x}{\left(x-p\right)\sqrt{Q{\left(x\right)}}}\\ &=:\left(p^{2}-pa-pb-pd+ab+ad+bd\right)I^{(0)}\\ &~+\left(p-a-b-d\right)I^{(1)}+I^{(2)}\\ &~+\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-d\right)J^{(1)}.\\ \end{align}$$
Queda por reducir cada una de las integrales $I^{(k)}$ y $J^{(1)}$ a la forma estándar. El $I^{(k)}$ son más o menos sencillas ya que no hay problemas de singularidad en los integrados, así que nos centramos primero en la evaluación de $J^{(1)}$ .
Lo conveniente de la integral $J^{(1)}$ es que sí converge cuando los límites de integración van a $+\infty$ a diferencia de lo que ocurre con $\mathcal{E}$ .
Resultado principal:
Definir $J{\left(Q;p;z\right)}$ por la integral impropia,
$$J{\left(Q;p;z\right)}:=\int_{z}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\left(x-p\right)\sqrt{Q{\left(x\right)}}}.$$
Set $\kappa:=\sqrt{\frac{\left(a-d\right)\left(b-c\right)}{\left(a-c\right)\left(b-d\right)}}\land n:=\frac{\left(p-b\right)\left(a-d\right)}{\left(p-a\right)\left(b-d\right)}\land\varphi:=\arcsin{\left(\sqrt{\frac{\left(b-d\right)\left(z-a\right)}{\left(a-d\right)\left(z-b\right)}}\right)}\land\theta:=\arcsin{\left(\sqrt{\frac{b-d}{a-d}}\right)}$ . Además, deja que $P{\left(y\right)}$ representan la expresión cuártica $P{\left(y\right)}:=\left(1-y^{2}\right)\left(1-\kappa^{2}y^{2}\right)$ . Utilizando la sustitución
$$\small{\sqrt{\frac{\left(b-d\right)\left(x-a\right)}{\left(a-d\right)\left(x-b\right)}}=y\implies x=\frac{a\left(b-d\right)-b\left(a-d\right)y^{2}}{b-d-\left(a-d\right)y^{2}}},$$
la integral $J{\left(Q;p;z\right)}$ se transformará como:
$$\begin{align} J{\left(Q;p;z\right)} &=\int_{z}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\left(x-p\right)\sqrt{Q{\left(x\right)}}}\\ &=\small{\int_{\sqrt{\frac{\left(b-d\right)\left(z-a\right)}{\left(a-d\right)\left(z-b\right)}}}^{\sqrt{\frac{\left(b-d\right)}{\left(a-d\right)}}}\frac{\left(-1\right)2\left[b-d-\left(a-d\right)y^{2}\right]\,\mathrm{d}y}{\left[\left(p-a\right)\left(b-d\right)-\left(p-b\right)\left(a-d\right)y^{2}\right]\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-d\right)}\sqrt{P{\left(y\right)}}}}\\ &=-\frac{2}{\left(p-b\right)\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-d\right)}}\int_{\sqrt{\frac{\left(b-d\right)\left(z-a\right)}{\left(a-d\right)\left(z-b\right)}}}^{\sqrt{\frac{b-d}{a-d}}}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{P{\left(y\right)}}}\\ &~\small{-\frac{2\left(a-b\right)}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-d\right)}}\int_{\sqrt{\frac{\left(b-d\right)\left(z-a\right)}{\left(a-d\right)\left(z-b\right)}}}^{\sqrt{\frac{b-d}{a-d}}}\frac{\mathrm{d}y}{\left(1-ny^{2}\right)\sqrt{P{\left(y\right)}}}}\\ &=-\frac{2}{\left(p-b\right)\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-d\right)}}\int_{\sin{\left(\varphi\right)}}^{\sin{\left(\theta\right)}}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{\left(1-y^{2}\right)\left(1-\kappa^{2}y^{2}\right)}}\\ &~\small{-\frac{2\left(a-b\right)}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-d\right)}}\int_{\sin{\left(\varphi\right)}}^{\sin{\left(\theta\right)}}\frac{\mathrm{d}y}{\left(1-ny^{2}\right)\sqrt{P{\left(y\right)}}}}\\ &=-\frac{2\left[F{\left(\theta,\kappa\right)}-F{\left(\varphi,\kappa\right)}\right]}{\left(p-b\right)\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-d\right)}}\\ &~-\frac{2\left(a-b\right)\left[\Pi{\left(\theta,n,\kappa\right)}-\Pi{\left(\varphi,n,\kappa\right)}\right]}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-d\right)}}.\\ \end{align}$$
Tenga en cuenta que el parámetro $n$ de las integrales elípticas del tercer tipo en la última línea anterior es mayor que $1$ y como tal estas integrales serán definidas por los valores del principio de Cauchy.
Sin embargo, la necesidad de preocuparse por los valores del principio de Cauchy puede evitarse utilizando la siguiente fórmula de conexión debida a Legendre.
Dejemos que $0<\varphi\le\frac{\pi}{2}\land0<k<1\land1\le\csc^{2}{\left(\varphi\right)}<n$ . Entonces se puede utilizar la siguiente fórmula de conexión para cambiar el parámetro de una integral elíptica de tercer tipo: $$\begin{align} \Pi{\left(\varphi,n,k\right)} &=F{\left(\varphi,k\right)}-\Pi{\left(\varphi,\frac{k^{2}}{n},k\right)}\\ &~+\frac{\sqrt{n}\operatorname{arctanh}{\left(\sqrt{\frac{n\left(1-k^{2}\sin^{2}{\left(\varphi\right)}\right)}{\left(n-1\right)\left(n-k^{2}\right)\tan^{2}{\left(\varphi\right)}}}\right)}}{\sqrt{\left(n-1\right)\left(n-k^{2}\right)}}.\\ \end{align}$$
La relación anterior mapea integrales elípticas de tercer tipo con parámetros en el rango $(1,\infty)$ a los que tienen un parámetro en el rango $(0,k^2)$ que no sufren ningún problema de singularidad en su definición.
