¿compacto relativo implica totalmente acotado?

Question

Dejemos que $M$ sea un espacio métrico. Siempre es cierto que si $A$ es relativamente compacto (es decir $\bar{A}$ es compacto) entonces $A$ ¿también está totalmente acotado?.

Traté de probarlo, considerando la subcubierta finita de $\bar{A}$ de radio $\epsilon>0$ pero el problema es que los puntos centrales de esas bolas podrían vivir en $\bar{A}-A$ por lo que no es necesariamente cierto que $A$ está totalmente acotado. Por favor, ayúdame con esto )=

Answer 1

Todo subconjunto de un conjunto totalmente acotado es totalmente acotado. Si se trabaja con la definición de acotación total que no requiere que los centros de las bolas estén en $A$ en sí mismo, eso es totalmente sencillo.

Si se requiere que los centros de las bolas estén en $A$ , primera portada $\overline{A}$ por un número finito de bolas $B_1,\, \dotsc,\, B_n$ de radio $\varepsilon/2$ . En cada una de estas bolas, elija una $x_j \in B_j \cap A$ (ya que hemos cubierto $\overline{A}$ , tal como un $x_j$ existe para todos los $j$ si consideramos un superconjunto general totalmente acotado de $A$ restringiríamos a sólo las bolas que intersecan $A$ ). Entonces $A$ está cubierto por las bolas $B_\varepsilon(x_j)$ cuyos centros se encuentran en $A$ .