Evaluar un límite mediante la integral

Question

$$\lim _{n\to \infty \:}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)$$

¿Cómo evalúo este límite?

Answer 1

Este límite es el mismo que $$ \lim_{x \uparrow 1} \lim_{n \to \infty} \left( x - \frac{x^2}{2} + \dotsb - \frac{x^{2n}}{2n} \right), $$ que puede escribirse como $$ \lim_{x\uparrow 1} \lim_{n \to \infty} \int_0^x ( 1 - t + \dotsb -t^{2n-1} ) \, dt = \lim_{x\uparrow 1} \lim_{n\to\infty} \int_0^x \frac{1-t^{2n}}{1+t} \, dt $$ Desde $x<1$ El $t^{2n}<x^{2n}$ tiende uniformemente a $0$ como $n \to \infty$ por lo que podemos intercambiar el límite y la integral para obtener $$ \lim_{x\uparrow 1} \int_0^x \frac{dt}{1+t} = \lim_{x\uparrow 1} \log{(1+x)}-0 = \log{2}. $$