¿Cuál es el producto de este por telescópica método?

Question

$$\prod_{k=0}^{\infty} \biggl(1+ {\frac{1}{2^{2^k}}}\biggr)$$

Mi maestro me dio esta pregunta y dijo que esto es fácil, sólo si se golpea el momento en que usted lea. Pero todavía estoy pensando. Ayuda!

P. S. Esta pregunta es para ser tratado por telescópica método.

Answer 1

Los términos de que el producto se $(1+1/2)(1+1/4)(1+1/16)(1+1/256)\cdots$ con cada denominador de ser la plaza de la anterior denominador. Ahora si se multiplica el producto con $(1-1/2)$ ver acción telescópica:

$(1-1/2)(1+1/2)=1-1/4$

$(1-1/4)(1+1/4)=1-1/16$

$(1-1/16)(1+1/16)=1-1/256$

¿Puede ver el patrón de desarrollo?

Answer 2

He aquí lo que me llamó la atención de los minutos que he leído el problema (y antes de que yo leyera usted se supone que el uso de una telescópica método):

$$\begin{align} \prod_{k=0}^\infty\left(1+{1\over2^{2^k}}\right) &= \left(1+{1\over2^1}\right)\left(1+{1\over2^2}\right)\left(1+{1\over2^4}\right)\cdots\\ &= 1+{1\over2^1}+{1\over2^2}+\cdots+{1\over2^{1+2}}+{1\over2^{1+4}}+\cdots+{1\over2^{1+2+4}}+{1\over2^{1+2+8}}+\cdots\\ &=1+{1\over2}+{1\over4}+{1\over8}+\cdots\\ &=2 \end{align}$$

utilizando el hecho de que al expandir el producto en la primera suma, los exponentes de las potencias de $2$ son simplemente los enteros positivos escrito en base-$2$ formulario. Esto es un poco como la forma en que la única factorización de números primos se utiliza para probar la fórmula del producto para la de Riemann zeta función.