Dejemos que $p,qR^n$ y que $\gamma$ sea una curva tal que $\gamma(a) = p, \gamma(b) = q$ , donde $a$ < $b$ .
(a) Demuestre que, si $\mathbf u$ es un vector unitario, entonces $$\dot\gamma \cdot \mathbf u\leq \|\dot\gamma\|$$
(b) Demuestre que $$(q - p)\cdot\mathbf u \int_b^a\|\dot\gamma\|\,dt$$ (c) Demuestre que la longitud de arco de $\gamma$ de $\gamma(a)$ a $\gamma(b)$ es al menos $\|q - p\|$ con igualdad cuando $\gamma$ es una línea recta.
Esto es lo que he resuelto hasta ahora, para (b): $$(q - p)·\mathbf u = (\gamma(a) - \gamma(b))·\mathbf u$$ $$=\int_b^a\dot\gamma\cdot\mathbf u\,dt$$ y por lo tanto, utilizando la parte (a): $$\int_b^a\dot\gamma\cdot\mathbf u\,dt\leq \int_b^a\|\dot\gamma\|\,dt$$
y para (c), como $\mathbf u$ es un vector unitario utilizamos la ecuación $$\mathbf u = \frac{(q - p)}{\|q - p\|}$$ desde aquí se puede ver que la longitud de arco de $\gamma$ de $\gamma(a)$ a $\gamma(b)$ es al menos $\|q - p\|$ pero no estoy seguro de qué trabajo mostrar o si lo estoy haciendo bien.
