En la obra Statistical Inference de Casella Berger, observan que es raro encontrar "un estadístico suficiente con dimensión menor que la muestra" (sección 6.2.1). Aunque son raros, ¿existen ejemplos de distribuciones no exponenciales con estadísticas suficientes de dimensión reducida? El pasaje en cuestión descarta efectivamente que el estadístico de orden sea un estadístico suficiente que reduzca la dimensión de la manera discutida.
Respuesta
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Sí, distribución uniforme en $(0,\theta)$ ( $\theta>0$ ) es un ejemplo. En este caso podemos escribir la función de densidad como $$ f(x; \theta) = \frac1{\theta}\cdot I(0 < x < \theta) $$ donde $I$ es la función indicadora. Entonces la función de probabilidad de una muestra iid puede escribirse $$ L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta) = \prod_i \frac1{\theta} I(0 < x_i < \theta) = \\ \frac1{\theta^n} \prod_i I(0 < x_i < \theta) = \\ \frac1{\theta^n} I(0 < \max_i x_i < \theta) $$ y ahora se puede invocar el teorema de la factorización y concluir que $ \max_i x_i $ es una estadística suficiente.
