¿Tiene un conjunto abierto un número infinito de puntos?

Question

Wolfram define un conjunto abierto como

Un conjunto para el que cada punto del conjunto tiene una vecindad situada en el conjunto.

¿Es correcto lo que he entendido?: un conjunto abierto tiene un número infinito de puntos porque, por mucho que se acerque al límite, sigue teniendo una vecindad, mientras que un conjunto cerrado sólo tiene un número finito de puntos?

Answer 1

Depende de la topología. Si tienes un conjunto con la topología discreta, esa afirmación no es cierta. En la topología discreta, todos los subconjuntos son abiertos, por lo que cualquier punto es un conjunto abierto, y no tiene un número infinito de puntos.

Answer 2

No, su conclusión es falsa. Consideremos por ejemplo la topología discreta sobre un conjunto $X$ finito o infinito. Entonces $\{x\}$ es un conjunto abierto.

Ahora, tomemos la topología habitual en $\mathbb{R}$ y la bola cerrada $B_\epsilon(x)$ para $x\in\mathbb{R}$ . Entonces $B_\epsilon(x)$ tiene un infinito número de puntos.

En otras palabras, la cardinalidad y la apertura/cierre de los conjuntos no están directamente correlacionadas.