Prueba $\frac12+\frac16+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$ para $n \in \mathbb{N}$

Question

Estoy utilizando la inducción:

Caso base $n=1$ sostiene ; $\frac12$ = $\frac{1}{(1)+1}$

Supongamos que $\frac{n}{n+1}$ es cierto a partir de algún $n \in \mathbb{N}$ .

Entonces $\frac12+\frac16+...+\frac{1}{n(n+1)}+ \frac{1}{(n+1)((n+1)+1)}=\frac{n}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)((n+1)+1)}$ . Por la hipótesis inductiva

a partir de aquí simplifico la RHS mostrando que es igual a $\frac{n+1}{(n+1)+1}$ ?

Answer 1

$$\frac n{n+1}+\frac1{(n+1)(n+2)}=\frac{(n^2+2n)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}$$

Answer 2

En aras de la exhaustividad, evaluamos la suma sin inducción: Obsérvese que $$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{(k+1) - k}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k(k+1)} - \frac{k}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}.$$ Por lo tanto, $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k} = \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}.$$

Answer 3

Pues bien, te diré un método sin tener que usar la inducción. Lo tenemos, $$\frac {1}{2} = \frac {2-1}{2\times 1} = \frac {1}{1}-\frac {1}{2} $$ $$\frac {1}{6} = \frac {3-2}{3\times 2} = \frac {1}{2}-\frac {1}{3} $$ $$\vdots $$ $$\frac {1}{n (n+1)} = \frac {n+1-n}{n (n+1)} = \frac {1}{n}-\frac {1}{n+1} $$

Sumando, obtenemos, $$\frac {1}{2}+\frac {1}{6}+\cdots + \frac {1}{n(n+1)} = (\frac {1}{1}-\frac {1}{2})+(\frac {1}{2}-\frac {1}{3})+\cdots + ( \frac{1}{n}-\frac {1}{n+1}) = \frac {1}{1}-\frac {1}{n+1} = \frac {n}{n+1} $$

Esto también se llama suma telescópica . Espero que sea de ayuda.