$\mathcal{Nil}_n$ isomorfo a $h^A$ con $A=\mathbb{Z}[x]/(x^n)$

Question

Me gustaría ver que $\texttt{Nil}_n$ es isomorfo a $h^{\mathbb{Z}[x]/(x^n)}$ como categorías.

$\texttt{Nil}_n: \texttt{Rings} \longrightarrow \texttt{Sets}$ es el functor que envía un anillo $R$ à $\{x \in R | x^n = 0\}$ .

$h^{\mathbb{Z}[x]/(x^n)}: \texttt{Mod}_R \longrightarrow \texttt{Mod}_R$ es el functor donde $\mathbb{Z}[x]/(x^n)$ es un $R$ -y envía un $R$ -Módulo $N$ à $Hom(\mathbb{Z}[x]/(x^n),N)$ .

Sé que dos categorías son isomorfas si cuando existen dos funtores como los anteriores, satisfacen también las condiciones anteriores.

Quiero ver que si existen dos funtores $F: \texttt{Nil}_n \longrightarrow h^{\mathbb{Z}[x]/(x^n)}$ y $G: h^{\mathbb{Z}[x]/(x^n)} \longrightarrow \texttt{Nil}_n$ entonces $FG=id_{h^{\mathbb{Z}[x]/(x^n)}}$ y $GF=id_{\texttt{Nil}_n}$ .

Pero mi problema viene cuando tengo que encontrar/ver cuáles son estos funtores. ¿Tiene $F$ y $G$ ¿Incluso existe? ¿Cómo puedo encontrarlos? ¿Son funtores conocidos?

Quiero ver eso para ver que $\texttt{Nil}_n$ está representado por el anillo $h^{\mathbb{Z}[x]/(x^n)}$ y la equivalencia natural

$\tau: h^{\mathbb{Z}[x]/(x^n)} \longrightarrow \texttt{Nil}_n$

dado (para cada anillo $R$ ) por

$\tau_R: h^{\mathbb{Z}[x]/(x^n)}(R) \longrightarrow \texttt{Nil}_n(R): f f(\bar{x})$ .

Estaba pensando en mostrar por primera vez que $\texttt{Nil}_n$ y $h^{\mathbb{Z}[x]/(x^n)}$ son isomorfas y luego mostrar que existe una iso natural $\mu: h^{\mathbb{Z}[x]/(x^n)} \longrightarrow \texttt{Nil}_n$ determinado por $\mu_{\mathbb{Z}[x]/(x^n)}(Id_{\mathbb{Z}[x]/(x^n)})$ y es igual a $\tau$ .

Answer 1

Ok, varios problemas. Como señala Kevin Carlson en los comentarios, $\newcommand\Nil{\operatorname{Nil}}\Nil_n$ y (si definimos $A=\Bbb{Z}[x]/(x^n)$ ) $h^A$ son funtores, no categorías.

Por lo tanto, tenemos que demostrar que son isomorfos como funtores.

Isomorfismos de funtores

Recordemos, pues, la definición de transformación natural, que es la noción de morfismo entre funtores. Sea $F,G:C\to D$ sean funtores de una categoría $C$ a una categoría $D$ . Entonces una transformación natural $\theta: F\to G$ es una familia de mapas, $\theta_x: F(x)\to G(x)$ para cada $x\in C$ que satisface el siguiente diagrama conmutativo para cada morfismo $f:x\to y$ en $C$ : $$\require{AMScd}\begin{CD}F(x) @>F(f)>> F(y) \\ @V\theta_xVV @V\theta_yVV\\G(x) @>>G(f)> G(y) \end{CD}$$

Un isomorfismo de funtores (normalmente llamado isomorfismo natural ) entonces es una transformación natural todos cuyos componentes son isomorfismos. (Comprueba que esto es equivalente a que la transformación natural tenga una transformación natural inversa)

Cómo aplicar esto a su pregunta

En primer lugar, tienes mal los dominios y codominios de tus funtores. Bueno $\Nil_n$ es correcto. Es un functor de $\newcommand\Ring{\mathbf{Ring}}\newcommand\Set{\mathbf{Set}}\Ring$ à $\Set$ pero $h^A(R)=\newcommand\Hom{\operatorname{Hom}}\Hom_\Ring(A,R)$ es en realidad también un functor de $\Ring$ à $\Set$ , no de la derecha $R$ -módulos a la derecha $R$ -módulos.

Por lo tanto, se quiere encontrar una familia de mapas para cada anillo $R\in\Ring$ , $\tau_R:h^A(R)\to \Nil_n(R)$ con $\tau_R$ un isomorfismo de conjuntos (es decir, una biyección) para cada anillo $R$ . También debe comprobar que $\tau_R$ es natural. Es decir, que el siguiente diagrama conmuta para cada mapa $\phi :R\to S$ de anillos: $$\begin{CD}h^A(R) @>h^A(\phi)>> h^A(S) \\ @V\tau_RVV @V\tau_SVV\\\Nil_n(R) @>>\Nil_n(\phi)> \Nil_n(S) \end{CD}$$

Nota: He utilizado $\tau_R$ porque ya has identificado la familia de mapas correcta $\tau_R$ en su pregunta, sólo tiene que demostrar que tiene las propiedades adecuadas.

Editar: En respuesta a su comentario preguntando cómo es $\tau_R$ definido con exactitud.

Bueno, como ha mencionado, los elementos de $h^A(R)$ son homomorfismos de anillo $f:A\to R$ y los elementos de $\Nil_n(R)$ son elementos $r$ de $R$ con $r^n=0$ . Así, $\tau_R$ debe tomar homomorfismos de anillo $f:A\to R$ y producir elementos apropiados de $R$ .

Bueno, $A=\Bbb{Z}[x]/(x^n)$ Así pues, dejemos que $\bar{x}$ sea la imagen de $x\in \Bbb{Z}[x]$ en el cociente, $A$ . Entonces, si $f:A\to R$ es un homomorfismo de anillo, $r=f(\bar{x})$ es un elemento de $R$ Y además, $r^n=f(\bar{x})^n=f(\bar{x}^n)=f(0)=0$ Así que $r$ está en $\Nil_n(R)$ .

Answer 2

Una pista: existe una propiedad universal de $\mathbb Z[x]$ como el anillo libre en un generador. Esto significa que hay una identificación functorial $$Hom_{Rings}(\mathbb Z[x], R) = Hom_{Sets}(\{x\},R) = \{x\in R\} = R$$

Ahora describe esta igualdad en términos de un isomorfismo de funtores y adapta la prueba a tu situación. (Sí, el functores las transformaciones naturales existen y son bien conocidas).