¿Qué es el siguiente producto? $ G = \prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}_{p^n} $ .

Question

Qué es el siguiente producto: $$ G = \prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}_{p^n} $$ donde $p$ es un primo y $\mathbb{Z}_{p^n}$ es un grupo cíclico habitual de orden $p^n$ .

Obviamente no es isomorfo al coproducto directo. Tiene elementos de torsión y de orden infinito y tiene una cardinalidad incontable. Así que mi primer pensamiento fue el círculo unitario o algún tipo de factorización de $p$ - los números de la época. ¿Es algún tipo de terminación métrica?

Answer 1

$G$ tiene una topología natural: considere todos los $\mathbb{Z}_{p^n}$ como discreto, entonces $G$ dotado de la topología del producto se convierte en un espacio compacto y totalmente desconectado. Las operaciones de grupo son continuas, por lo que se trata de un grupo compacto, en realidad un profinite o, más exactamente, un grupo abeliano pro- $p$ grupo . La suma directa $\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}_{p^n}$ es un subgrupo denso (formado por los elementos de $G$ con sólo un número finito de entradas $\ne 0$ ). Como la topología también es métrica, $G$ puede verse como la finalización métrica de $\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}_{p^n}$ . El grupo de $p$ -es un subgrupo cerrado de $G$ es decir, el cierre topológico del subgrupo generado por $(1,1,\dots)$ .