Encuentra el número de soluciones en enteros no negativos de la ecuación $x_1+x_2+x_3+3x_4=7$ .

Question

Encuentra el número de soluciones en enteros no negativos de la ecuación $x_1+x_2+x_3+3x_4=7$ .

El término $3x_4$ sólo será igual a $0,3$ et $6$ . Así que $x_4\in\{0,1,2\}$ . Dejando que $3x_4=0,3$ et $6$ tendremos tres casos y luego por el principio de adición obtendremos el resultado. Así que el número de soluciones es ${9 \choose 2}+{6 \choose 2}+{3 \choose 2}$ . ¿Es este el método correcto? ¿Existen otras formas o formas más hábiles de hacerlo?

Answer 1

Utilicemos para ello funciones generadoras tales que :

$x_1 = \frac {1}{1-x}$ , $x_2 = \frac {1}{1-x}$ , $x_3 = \frac {1}{1-x}$ , $x_4 =\sum_{0}^{\infty} {x}^{3m}$

Así, el resultado de la multiplicación es ${\frac {1}{1-x}}^3 \times x^{3m} = C(3+k-1,k)\times x^k \times x^{3m}$ porque el coeficiente de $x^{3m}$ es siempre $1$

Queremos calcular el coeficiente de $x^7$ por lo que debemos encontrar los valores de $k,m$ cuando $k+3m=7$

Es posible cuando $m=0,k=7$ o $m=1,k=4$ o $m=2,k=1$

Así que.., $C(3+7-1,7)+C(3+4-1,4)+C(3+1-1,1)=54$