Encontrando $\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma$ dado $\sin \alpha+\sin \beta+\sin\gamma=0=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma$

Question

Se supone que debo encontrar el valor de $\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma$ y me han proporcionado la información que $\sin \alpha+\sin \beta+\sin\gamma=0=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma$ .

Intenté abordar esto usando vectores. Podemos considerar tres vectores unitarios que suman $0$ . Vectores unitarios porque los coeficientes del $\sin$ y $\cos$ los términos son $1$ . Para simplificar, dejemos que uno de los vectores $\overline{a}$ ser a lo largo de la $x$ -eje. Sean los ángulos entre $\overline{b}$ y $\overline{c}$ sea $\alpha$ entre $\overline{a}$ y $\overline{b}$ sea $\gamma$ y entre $\overline{a}$ y $\overline{c}$ sea $\beta$ . Entonces tenemos:

$$\begin{aligned}\overline{a}&=\left<1,0\right>\\ \overline{b}&=\left<-\cos\gamma, -\sin\gamma\right>\\ \overline{c}&=\left<-\cos\beta, \sin\beta\right>\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\cos\gamma+\cos\beta &=1\\ \sin\beta&=\sin\gamma\end{aligned}$$

Ahora, $\cos \gamma$ y $\cos\beta$ deben tener el mismo signo. Así que obtenemos $\sin\alpha=-\sqrt{3}/2$ , $\sin\beta=\sqrt{3}/2$ y $\sin\gamma=\sqrt{3}/2$ . Esto se contradice con la clave de respuesta proporcionada según la cual $\sum_{cyc}\sin^2\alpha=3/2$ . ¿Qué estoy haciendo mal?

Esta era la imagen que tenía en mente con $\overline{a}$ alineado con la horizontal.

Answer 1

En el caso que nos ocupa, los tres vectores son $(1,0)$ , $(-1/2,\sqrt3/2)$ y $(-1/2,-\sqrt3/2)$ . La suma de los cuadrados de los $y$ -coordenadas es $$0^2+\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}2\right)^2=\frac32.$$

Sin embargo, la solución general tiene vectores $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ , $(\cos(\alpha+2\pi/3),\sin(\alpha+2\pi/3))$ $(\cos(\alpha-2\pi/3),\sin(\alpha-2\pi/3))$ por lo que hay que demostrar la identidad $$\sin^2\alpha+\sin^2\left(\alpha+\frac{2\pi}3\right) +\sin^2\left(\alpha-\frac{2\pi}3\right)=\frac32.$$

Answer 2

De hecho, la ecuación del coseno no es

$$1-\cos\gamma-\cos\beta=0,$$

pero

$$\cos\beta\cos\gamma-\sin\beta\sin\gamma-\cos\gamma-\cos\beta=0,$$

tomando los productos punto entre los vectores.

La ecuación del seno se obtiene a partir de los productos cruzados,

$$-\sin\beta\cos\gamma-\cos\beta\sin\gamma-\sin\gamma+\sin\beta=0.$$

Son compatibles con $\alpha+\beta+\gamma=2\pi.$

Answer 3

Desde Aclaración sobre una pregunta ,

$\alpha-\beta=\dfrac{2\pi}3+2\pi a,\beta-\gamma=\dfrac{2\pi}3+2\pi b$

$\implies\alpha-\gamma=\dfrac{4\pi}3+2\pi c=-\dfrac{2\pi}3+2\pi d$

Si $S=\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma$

$$2S=3-(\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma)$$

Método $\#1:$

$$\cos2\alpha+\cos2\beta=\cos2\left(\gamma-\dfrac{2\pi}3\right)+\cos2\left(\gamma+\dfrac{2\pi}3\right)=2\cos2\gamma\cos\dfrac{2\pi}3=-\cos2\gamma$$

Método $\#2:$

Si $\cos3x=\cos3A$

$3x=2n\pi\pm3A\implies x=\dfrac{2n\pi}3\pm A$

Ahora $\cos3A=\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$

$\implies4\cos^3x-3\cos x-\cos3A=0$

$\implies\sum_{r=-1}^1\cos\left(x+r\dfrac{2r\pi}3\right)=\dfrac04$