Es $f$ integrable en el dominio de Jordan $V$ ?

Question

Si $D$ es un subconjunto acotado de $\mathbb{R^n}$ y $f$ es integrable en $D$ , $V$ es un dominio de Jordan que contiene en $D$ es $f$ integrable en $V$ ?

Creo que es cierto. Traté de considerar la función de restricción de $f$ en V, pero no sé cómo discutir. Y creo que tal vez podemos utilizar la contradicción.

Answer 1

Dada la definición habitual de la integral de Riemann, para demostrar que $\displaystyle\int_Vf$ existe, hay que demostrar que $\displaystyle\int_Rf\cdot\chi_V$ existe para algún rectángulo cerrado $R \supset V$ . (La elección de $R$ no importa).

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Fijemos algún rectángulo cerrado $R \supset D$ . (Tenga en cuenta que $D$ está acotado).

Desde $\displaystyle\int_Df$ existe, vemos que el conjunto de discontinuidades de $f\cdot\chi_D$ es de medida cero.

Ahora, mostramos que lo mismo es cierto para $f\cdot\chi_V$ .

Consideremos los tres conjuntos diferentes en los que $x \in R$ puede ser:

1. $x \in \operatorname{int}V$ .
   En este caso, $x \in \operatorname{int}D$ también así, y en un barrio de $x$ tenemos que $$f = f\cdot\chi_V = f\cdot\chi_D.$$ Así, si $f\cdot\chi_V$ es discontinuo en $x$ entonces también lo es $f\cdot\chi_D$ .
   Como el conjunto de discontinuidades de este último tiene medida cero, vemos que $$D_1 := \{x \in \operatorname{int}V \mid f\cdot\chi_V \text{ is discontinuous at }x\}$$ también tiene medida cero.
2. Si $x \in \operatorname{boundary}V$ .
   Desde $V$ es un dominio de Jordan, el conjunto de todos los $x$ tiene medida cero. En particular, también lo tiene el conjunto $$D_2 := \{x \in \operatorname{boundary}V \mid f\cdot\chi_V \text{ is discontinuous at }x\}.$$
3. $x \in R \cap \operatorname{int}(\Bbb R^n\setminus V).$
   $f\cdot x_V$ es continua en cualquier $x$ ya que es idéntico $0$ en un barrio de $x$ .

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Así, vemos que el conjunto completo de discontinuidades de $f$ es $D_1 \cup D_2$ que tiene medida cero. Por lo tanto, $f$ es integrable en $V$ .