Suma de las longitudes de los lados y las diagonales

Question

Agradeceré mucho si alguien puede darme una fórmula para la suma de las longitudes de todos los lados y todas las diagonales de un n-gono regular inscrito en una circunferencia unidad. Gracias.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que el círculo tiene radio $1$ (si tiene radio $r$ podemos multiplicar por $r$ ). También podemos suponer que uno de los vértices del polígono está en $(1,0)$ . Sea $\theta=\frac{2\pi}{n}$ . Entonces el siguiente vértice (en sentido contrario a las agujas del reloj) hace un ángulo de $\theta$ con el $x$ -y el siguiente un ángulo de $2\theta$ entonces $3\theta$ hasta llegar a $(n-1)\theta$ .

Por trigonometría básica, la distancia de $(1,0)$ al primer vértice es $\sin(\theta/2)$ . La distancia de $(1,0)$ al segundo vértice es $\sin(2\theta/2)$ . Continúa. La distancia desde $(1,0)$ hasta el último vértice es $\sin((n-1)\theta/2)$ . Suma. Obtenemos $$\sin \alpha+\sin 2\alpha+\sin 3\alpha+\cdots +\sin (n-1)\alpha,$$ donde $\alpha=\dfrac{\pi}{n}$ .

Hay una fórmula agradablemente sencilla para este tipo de suma: ver aquí. Esta fórmula se demuestra más fácilmente utilizando números complejos, ya que entonces sólo se trata de la suma de dos progresiones geométricas. En esa fórmula, dejemos que $\varphi=0$ y utilizar $n-1$ en lugar de $n$ . Obsérvese que la fórmula, ya bastante sencilla, se simplifica aún más.

Ahora repite este cálculo en todos $n$ vértices. Obtenemos el mismo número cada vez. Pero si multiplicamos la suma en cada vértice por $n$ habremos contado la longitud de cada arista y de cada diagonal dos veces . Así que tomamos la suma en el primer vértice, multiplicamos por $n$ y luego dividir por $2$ .

Answer 2

Sugerencia: Los lados de la regularidad $n$ -gon son acordes del círculo, con ángulo central $\frac {2\pi}n$ . Las diagonales también son cuerdas, con ángulos centrales algún múltiplo de aquéllas. Piensa en cuántas diagonales salen de un vértice.