Caracterización para la extensión separable de un campo

Question

Puede alguien verificar esto por mi.. o decirme que referencia me muestra esto.. es esto cierto:

Dejemos que $k$ sea un campo. Entonces una extensión de campo $K$ de $k$ es separable sobre $k$ si para cualquier extensión de campo $L \supseteq k$ el radical de Jacobson del producto tensorial $K\otimes_k L$ es trivial.

Se me ocurrió esta idea mirando algunas definiciones de álgebras separables (que no es mi campo de investigación.. pero de alguna manera esta definición me intrigó). ¿Alguien sabe si esto es cierto y por qué? o tal vez una referencia o dos al respecto?

Answer 1

Dejemos que $k\subset K$ sea una extensión de campos completamente arbitraria. Se dice que esta extensión es separable si, de forma equivalente

a) Para todas las extensiones $k\subset L$ el anillo $K \otimes _k L$ se reduce. [Un anillo se reduce si $x^n=0 \Rightarrow x=0$ ]

o

b) Para alguna extensión algebraicamente cerrada $k \subset \Omega$ el anillo $K\otimes _k \Omega$ se reduce.

Si la extensión $k\subset K$ es algebraico lo anterior es equivalente a la definición más elemental

c) Cada $x\in K$ es separable, es decir, el polinomio mínimo de $x$ en $k$ es separable. [Lo que significa que sus raíces son distintas en un cierre algebraico $k^a$ de $k$ ].

Todo esto se puede encontrar en el capítulo V del Álgebra de Bourbaki.

Answer 2

Deberías echar un vistazo al Teorema 3.4 (p 85) del libro de Farb y Dennis Álgebra no conmutativa . La declaración es:

Dejemos que $L/k$ sea una extensión finita de campos. Entonces $K\otimes _k L$ es semisimple para todo campo $K\supseteq k$ si y sólo si $L/k$ es una extensión separable.

Que el producto tensorial sea semisimple implica que su radical de Jacobson desaparece. A la inversa, cualquier anillo artiniano con radical de Jacobson trivial es semisimple. Por tanto, tu formulación equivalente de la separabilidad es cierta.