El ideal de colon de los ideales fraccionarios es a su vez un ideal fraccionario

Question

Recibí esta pregunta de tarea en mi clase de álgebra homológica y necesito un poco de orientación.

Dejemos que $R$ sea un dominio integral conmutativo y $K$ sea su campo de fracciones. A ideal fraccionario $I$ de $R$ es un $R$ -submódulo de $K$ tal que existe algún tipo de $r \in R$ tal que $rI \subset R$ .

Dejemos que $(I:J) = \{k \in K \mid kJ \subset I\}$ (El ideal de los dos puntos). Necesito demostrar que el ideal de los dos puntos es también un ideal fraccionario.

He demostrado que es un $R$ -submódulo de $K$ pero no sé cómo demostrar que hay algo de $r \in R$ tal que $r(I:J) \subset R$ .

¿Cuáles son algunas ideas?

Answer 1

$aI\subseteq R$ , $bJ\subseteq R$ con $a,b\in R-\{0\}$ ; toma $r=abj$ para algunos $j\in J$ , $j\ne 0$ .