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Unicidad de una solución positiva de una ecuación integral

Esta es una continuación de otra pregunta que hice recientemente . Esta es una ligera modificación de esa pregunta.

En la mecánica de fluidos del flujo de tuberías, a veces se afirma que el perfil de velocidad $u(r)$ que corresponde a un coeficiente de energía cinética de 1 es siempre uniforme, por lo que $u(r) = \overline{u}$ (una constante).

El coeficiente de energía cinética se define como $$\alpha \equiv \frac{2}{R^2} \int_0^R \left(\frac{u(r)}{\overline{u}}\right)^3 r dr$$

donde $$\overline{u} \equiv \frac{\int_A u(r) dA}{A} = \frac{2 \int_0^R u(r) r dr}{R^2}$$ es la velocidad media.

Es evidente que $u(r) = \overline{u}$ devuelve $\alpha = 1$ . ¿Cómo probar o refutar lo contrario, es decir, que $\alpha = 1$ implica $u(r) = \overline{u}$ si $u(r) \geq 0$ es una función continua con $\frac{d u}{d r}|_{r = 0} = 0$ ? (La parte mayor o igual y la condición de simetría son las únicas partes que difieren con la pregunta anterior).

He intentado construir polinomios con estas propiedades para refutar lo contrario. En todos los casos que he intentado, $u(r)$ se volvió negativo si $u(r) \neq \overline{u}$ y $\alpha = 1$ . Esto ocurre a pesar de intentar forzar que la función sea positiva, por ejemplo, estableciendo $\frac{d u}{d r}|_{r = R}$ igual a un número negativo grande y $u(0)$ igual a un número positivo. No estoy seguro de si hay una manera de demostrar que no hay soluciones estrictamente positivas aparte de $u(r) = \overline{u}$ .

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Matthew Scouten Puntos 2518

$x^3$ es estrictamente convexo en $[0,\infty)$ y $\mu(dr) = (2/R^2) r\; dr$ es una medida de probabilidad sobre $[0,R]$ Así que La desigualdad de Jensen dice que, para cualquier $u \in L^3(\mu)$ $$\int u^3(r) \;\mu(dr) \ge \left(\int u(r)\; \mu(dr)\right)^3$$ con igualdad si $u$ es constante a.e.

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