Curvatura y círculo oscilante de una espiral

Question

Quiero aclarar un malentendido en un ejercicio que me encontré recientemente. Dejemos que $r(t)=(Rcost, Rsint, vt)$ sea una curva (la espiral habitual). Entonces con un poco de cálculos se encuentra que la curvatura es $ k=R/(R^2+v^2)$ y la torsión es $ \sigma = v/(R^2+v^2)$ . El ejercicio dice que si $k=\sigma =1$ entonces encuentra R,v. Resolviendo el sistema encontramos fácilmente R=v=1/2. Mi pregunta es la siguiente: La espiral es sólo un círculo que, en cierto sentido, va hacia arriba dentro de un cilindro, por lo que el círculo osculante (¿adyacente? no estoy seguro de cuál es la palabra correcta) no debería ser la base del cilindro? El radio de un círculo osculante es $r=1/k$ donde k es la curvatura, que aquí nos da $r=1$ . En cambio, el círculo de la espiral (la base del cilindro) tiene R=1/2. Por lo tanto, es evidente que los dos círculos son diferentes. ¿No deberían ser los dos círculos iguales?

Answer 1

El círculo oscilante no está en el plano horizontal aquí. Está en el plano de osculación, que contiene en particular el vector tangente ascendente a la hélice.