Caracterización de anillos de valoración discretos

Question

Dejemos que $R$ sea un dominio local noetheriano con un único ideal máximo $M$ . Entonces quiero demostrar que si cada $M$ -el ideal primario es un poder de $M$ entonces $R$ es un anillo de valoración discreta.

Sé que terminaré si puedo demostrar que $M$ es principal, o que $M$ es el único ideal primo (desde entonces puedo invocar, o que $R$ es integralmente cerrado en su campo de fracciones, pero no estoy seguro de cómo mostrar alguna de esas cosas. ¿Podría tener algunas pistas?

Answer 1

No existe un ideal (propiamente dicho) entre $M^2$ y $M$ (¿por qué?). Deje que $x\in M-M^2$ . (¿Qué puede decir si $M=M^2$ ?) Entonces $M^2+(x)=M$ y de Lema de Nakayama Obtenga $M=(x)$ .