Demuestra que $\{f_n\}_{n \geq 0}$ diverge en $(C[0,1], \|.\|)$ .

Question

En $C[0,1]$ consideramos la norma habitual $\| f\|=\sup\{|f(t)|: t \in [0,1]\}$ . Para $n\in N$ , dejemos que $f_n \in C[0,1]$ definir como $f_n(t)=t^{1/n}$ . Demostrar que $\{f_n\}_{n \geq 0}$ diverge en ( $C[0,1]$ , ||.||).

He pensado que puedo utilizar el contrapositivo de la convergencia de una secuencia : $\exists \epsilon>0$ tal que $\forall N\in\mathbb{N}$ $\exists n\ge N$ tal que $|f_n-f|\ge \epsilon$ . Sin embargo, no sé explícitamente la función $f$ .

¿Alguien podría darme una pista para resolver el problema?

Answer 1

No sé por qué se abandona el argumento puntual en favor del argumento de Cauchy. Supongamos que $f_n \to f$ en $C[0,1].$ Esto significa que $f_n \to f$ uniformemente en $[0,1],$ lo que implica $f_n \to f$ en punto a $[0,1].$ Pero como han señalado otros, $f_n(x) \to 1$ para $x\in (0,1]$ y $f_n(0) \to 0.$ Por lo tanto, $f=1$ en $(0,1]$ y $f(0)=0.$ Eso es imposible para un miembro de $C[0,1],$ por lo que tenemos una contradicción, demostrando que el $f_n$ divergen.

Answer 2

Intuitivamente, el problema es que el límite puntual tiene un salto en cero. Pero esto no es una prueba y, de hecho, hay ejemplos (con una norma diferente) en los que el límite puntual es discontinuo, pero todavía se tiene la convergencia a una función continua (de nuevo, en una norma diferente a la norma uniforme).

Para dar realmente una prueba, se debe argumentar que la secuencia no es Cauchy en la norma dada: esto significa que

$$(\exists \varepsilon > 0)(\forall N \in \mathbb{N})(\exists m,n \geq N) \: \| f_n - f_m \| \geq \varepsilon.$$

Nuestra observación intuitiva nos da una pista sobre cómo hacerlo: debemos acercarnos a $t=0$ . Por lo tanto, elija $\varepsilon=1/4$ . Sea $N \in \mathbb{N}$ . Elija $m=N$ . Encuentre $t$ para que $t^{1/m}=1/4$ . (¿Qué es esto $t$ ?) Entonces encuentra $n \geq N$ para que $t^{1/n} \geq 1/2$ . (¿Cómo se puede encontrar un $n$ ?) Entonces $\| f_m - f_n \| \geq 1/4$ (¿por qué?).

Answer 3

Sugerencia: Se observa que $t^{1/n}\rightarrow 1$ si $t\in(0,1]$ .

Answer 4

La "función límite", si existiera, sería $1$ en $(0, 1]$ y $0$ en $0$ esto debería dar alguna intuición sobre cómo mostrar que la secuencia es divergente. En particular, sugeriría mostrar que no es una sucesión de Cauchy, y por tanto es divergente; el comportamiento de $t^{1/n}$ y $t^{1/(n + 1)}$ es lo suficientemente diferente en $0$ para forzar la divergencia.

Answer 5

Lo entiendo por $n>m$ , $\|f_n-f_m\|=(m/n)^{m/(n-m)}(1-m/n)$ . (Querrás comprobar mi cálculo.) En particular, $\|f_{2m}-f_m\|=1/4$ para todos $m$ . Esto demuestra que $\{f_n\}$ no puede ser Cauchy.