¿Cómo resolver un polinomio complejo?

Question

1. Resuelve: $$z^3 - 3z^2 + 6z - 4 = 0$$

¿Cómo lo resuelvo?

¿Puedo hacerlo dejando básicamente $z = x + iy$ tal que $i = \sqrt{-1}$ y $x, y \in \mathbf R$ y luego sustituir eso en la ecuación y obtener una ecuación loca y larga? Si lo hiciera sospecho que no sería capaz de descifrar la parte imaginaria de la ecuación.

O debería cambiarlo por uno de los formularios de abajo:

$$z^n = r^n \mathbf{cis} n \theta$$ $$z^n = r^n e^{n\theta i}$$

¿Y luego introducir eso en la ecuación? Lo hice. Pero parecía irresoluble. Estoy muy confundido.

Answer 1

Dado que el campo de números complejos $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, todos los polinomios con coeficientes complejos tienen una descomposición polinómica lineal. En este caso, es $$z^3 - 3z^2 + 6z - 4 = (z - 1)(z - 1 + \sqrt{3}i)(z - 1 - \sqrt{3}i).$$ Así que puedes ver la solución de la ecuación fácilmente desde esta representación.

Una forma de averiguar dicha descomposición es simplemente $$z^3 - 3z^2 + 6z - 4 = c(z - \alpha)(z - \beta)(z - \gamma)$$ para hallar los coeficientes igualando los coeficientes de la potencia de $z$ .

Answer 2

Si se sustituye por $z=x+iy$ las partes real e imaginaria son cada una de ellas cúbicas; sólo hay que ordenar los términos que tienen un factor $i$ para la parte imaginaria y tienes una ecuación real. Pero, como dice Daniel Fischer, hay un enfoque más fácil en este caso. Para ver lo que ocurre, tenemos $$(x+iy)^3-3(x+iy)^2+6(x+iy)-4=0\\x^3+3ix^2y-3xy^2-iy^3-3x^2-6ixy+3y^2+6x+6iy-4=0\\x^3-3xy^2-3x^2+3y^2+6x-4=0\\3x^2y-y^3-6xy+6y=0$$ donde el segundo proviene de la parte imaginaria. No es peor que la parte real, que es la penúltima línea.

Answer 3

$z=x+1$ $\Longrightarrow$ $x^{3}+3x=0$

$\therefore$ $x=0$ , $\pm\sqrt{3}i$

$\therefore$ $z=1$ , $1\pm\sqrt{3}i$

Answer 4

Lo más fácil es intentar primero una raíz del polinomio. En este caso, para

$$p(z) = z^3 - 3z^2 + 6z - 4,$$ tenemos que $p(1) = 0$ .

Por lo tanto, se puede factorizar aún más y obtener $$z^3 - 3z^2 + 6z - 4 = (z-1)(z^2 - 2z + 4)$$

$$= (z-1)((z-1)^2 + 3).$$

Sus raíces son sólo $$z_{1} = 1, \hspace{10pt}z_{2} = 1 + i\sqrt{3}, \hspace{10pt}z_{3} = 1 - i\sqrt{3}.$$

Answer 5

@Petch Puttichai , después de haber adivinado la raíz decir $p(1)$ ¿Cómo encontramos los otros factores, es que dividimos el polinomio con el primer factor, hay algún otro método?

Por ejemplo, si tengo un polinomio de $z^4+z^3+...$ después de encontrar la primera raíz adivinando, cómo obtener el otro polinomio que creo que debe ser de la forma $z^3+z^2+...$ .

Gracias por toda su ayuda.

Arif