¿Por qué la afirmación p "implica "q es verdadera si p es falsa?

Question

M: La tabla de verdad de pq dice que si p es falso y entonces pq es verdadero. El autor de los libros pasa a aclarar la duda que la gente tiene sobre la afirmación anterior, utiliza el siguiente escenario para explicar por qué M es verdadera,

" Tal vez le moleste el hecho de que P Q sea verdadera en los dos últimos líneas de esta tabla. He aquí un ejemplo que debería convencerle de que la tabla es correcta. Suponga que acaba de hacer un examen y le pregunta a su profesor si será calificado para la próxima clase. Su profesor le promete lo siguiente siguiente promesa: Si vienes a clase, tendrás tu examen. El profesor promete lo siguiente (Vienes a clase) (Obtienes tu examen). "

Continúa diciendo que si no vienes a clase y (coges tu papel)/(no coges tu papel), entonces no mintió, si no mientes dices la verdad, por lo tanto no mintió. Pero ¿cómo podemos estar seguros de que no mintió?, la promesa no se rompió, seguro, pero no estamos seguros de que no se hubiera roto si previamente hubiéramos decidido ir a clase en lugar de no ir.

ps; no he tomado ningún curso de lógica.

Answer 1

$p \Rightarrow q$ por definición significa $\lnot p \lor q$ . El lenguaje cotidiano puede dar una intuición de la razón que hay detrás de esto: "si no lo descuentan, no lo compraré" y, de forma algo equivalente, "o lo descuentan o no lo compraré". Una línea en una tabla de verdad debe interpretarse como una disyunción de conjunciones de proposiciones elementales. Así, si se mira la tabla de verdad para la implicación $$\begin{array}{lcccc} p & 1 & 1 & 0 & 0 \\ q & 1 & 0 & 1 & 0 \\ p \Rightarrow q & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}$$ Una forma de leerlo es "(p y q) o (no p y q) o (no p y no q)", que equivale a "q o no p". En otras palabras, hay que hacer una lectura holística de toda la línea, que es su definición. No tiene sentido decir, por ejemplo, "si p es falso, entonces es cierto que p implica q".

Answer 2

Cuando decimos que una fórmula (sobre los números reales, por ejemplo) como "Si $x < 5$ entonces $x < 10$ "es verdadera, es decir, es verdadera para TODOS los valores de la variable $x$ , incluyendo, por ejemplo, $x=12$ (F implica F), $x=8$ (F implica T), y $x=2$ (T implica T).

Se trata, en efecto, de una convención del lenguaje/notación matemática, pero muy conveniente, porque nos gustaría que la interpretación de "Fórmula $A(x)$ es verdadera" para que sea la misma para las implicaciones $A(x)$ como el anterior en cuanto a, por ejemplo $A(x)$ ser $(x^2-1)=(x+1)(x-1)$ es decir, que la fórmula es válida para todos los valores de $x$ .