Respecto a las superficies de Riemann compactas (hiperbólicas) de género $g>1$

Question

Dejemos que $X$ sea una superficie de Riemann compacta de género $g>1$ con $G$ un subconjunto abierto estricto de $\mathbb{C}$ y $U=\bigcup_{j}U_j$ estrictamente un subconjunto de $G$ para $U_j$ compacto (para todos los $j$ tal que $\bigcup_{j}U_j$ es compacto). Entonces $\tilde X$ es el disco unitario abierto $\Delta$ que es biholomorfo a $G$ (por el teorema del mapa de Riemann). Así, el primer grupo fundamental $\pi_1(X)$ no es trivial, ya que $X$ es de conexión múltiple. Así que $X$ es hiperbólico y podemos escribirlo como el cociente del medio plano superior por un grupo fucsiano, es decir $X=\mathbb{H}/\Gamma.$

¿Es cierto que $X\cong G$ para $\phi:X\to G\subset\mathbb{C}$ ¿Biolomorfo?

Esencialmente estoy preguntando si la superficie de Riemann $X$ del género $g>1$ es difeomorfo a un subconjunto abierto de $\mathbb{C},$ $G\cong\Delta.$

Gracias de antemano.

Answer 1

De forma algo trivial, pero quizás significativa, la respuesta es "no": las superficies de Riemann compactas y conectadas de género >1 no son difeomorfas a subconjuntos abiertos de $\mathbb C$ ". Es decir, subconjuntos abiertos de $\mathbb C$ no son compactos. Si intentamos esquivar esto tomando cierres, entonces el teorema de uniformización requerirá que identifiquemos algunos puntos en los límites, por lo que el mapa (de un polígono no euclidiano a la superficie de Riemann) definitivamente no será uno a uno.

¿Quizás la intención genuina de la pregunta es algo diferente a esto, o puede ser refinada para tomar en consideración tales "contraejemplos triviales", para acercarse a la verdadera cuestión?