Topologías de operadores débiles en $B(X')$

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach con el dual $X'$ . Sobre el espacio de operadores acotados $B(X')$ en $X'$ podemos definir las siguientes dos topologías de operadores débiles definidas por las seminormas:

1. $T \mapsto |\langle Tx', x'' \rangle| = |x''(Tx')|$ para $x' \in X$ , $x'' \in X''$ definido por el par dual $\langle X', X'' \rangle$ et
2. $T \mapsto |\langle Tx', x \rangle| = |x(Tx')|$ para $x' \in X$ , $x \in X$ definido por el par dual $\langle X', X \rangle$

Creo que la primera topología se suele denominar WOT en $B(X')$ . ¿Existe también un nombre para la segunda topología? ¿Puede identificarse esta topología con alguna otra topología natural en $B(X')$ ? Si no, ¿dónde puedo encontrar información sobre esta topología?

También parece que esta construcción se puede generalizar a un par dual arbitrario $\langle X, Y \rangle$ de espacios vectoriales $X$ y $Y$ con cierta dualidad $\langle \cdot, \cdot \rangle : X \times Y \to \mathbb{R}$ . Entonces $T \mapsto |\langle Tx, y \rangle|$ es una seminorma para cada $x \in X$ y $y \in Y$ y da una topología (natural) localmente convexa en el espacio vectorial $L(X,Y)$ de todos los mapeos lineales $X \to Y$ .

Answer 1

Este es el llamado débil ${}^*$ topología del operador (a veces abreviado como W*OT). Consulte este documento:

Changsun Choi, Ju Myung Kim, Topologías vectoriales localmente convexas en $B(X, Y)$ , J. Korean Math. Soc. 45 (2008), nº 6, 1677-1703.

para conocer más propiedades de esta topología.