Sé que $\mathbb Z[\sqrt{-3}]$ no es un dominio Euclídeo bajo la norma habitual $N(x + y\sqrt{-3}) = x^2 + 3y^2$, pero eso no necesariamente significa que no puede ser un dominio Euclídeo. Es posible definir algunas normas que podrían hacer de él un dominio Euclídeo?
Respuesta
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No es posible. Si lo fuera, entonces $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ sería una Única Factorización de Dominio. Pero $$4=(2)(2)=(1-\sqrt{-3})(1+\sqrt{-3}),$$ y $2$ $1\pm\sqrt{-3}$ son no-asociado irreducibles.
Alternativamente, $2$ es irreducible en nuestro anillo. Pero $2$ no es primo, ya $2$ divide el producto $(1-\sqrt{-3})(1+\sqrt{-3})$, pero $2$ divide ni $1-\sqrt{-3}$ ni $1+\sqrt{-3}$.
