Se nos da la función $f(x) =e^x$ y tratamos de estimar su segunda derivada en $x=0$ . Esta es la fórmula de estimación. $$f''(x)\approx {f(x) - 2f(x+h) + f(x+2h)\over h^2}= P(x)$$ Los tres puntos están espaciados uniformemente por una distancia $h=0.1$ . Así que conecté $x=0$ y todo iba de maravilla- obtuve una estimación de la segunda derivada en $x=0$ . Pero cuando se trata del error, $$f''(0)- P(0)$$ ¿Cómo puedo demostrar que el error no es mayor que $O(h)$ ? ¿Tiene $O(h)$ tiene sentido, o debería ser $O(x)$ ? ¿Qué significa en realidad la notación big-O? Gracias.
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Claude Leibovici
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No sé si esto es lo que esperan, así que perdonen si me salgo del tema.
Utilizando las series de Taylor en torno a $h=0$ tenemos $$f(x+h)=f(x)+h f'(x)+\frac{1}{2} h^2 f''(x)+\frac{1}{6} h^3 f'''(x)+O\left(h^4\right)$$ Sustitución de $h$ por $2h$ en la expansión anterior da $$f(x+2h)=f(x)+2 h f'(x)+2 h^2 f''(x)+\frac{4}{3} h^3 f'''(x)+O\left(h^4\right)$$ Por lo tanto, reemplazando, $$f(x) - 2f(x+h) + f(x+2h)=h^2 f''(x)+h^3 f'''(x)+O\left(h^4\right)$$ $${f(x) - 2f(x+h) + f(x+2h)\over h^2}=f''(x)+h f'''(x)+O\left(h^2\right)$$
David K
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Formalmente, para decir que el error es $O(h)$ significa, en este ejemplo, que siempre que $h$ es positivo pero suficientemente cercano a cero ( $0 < h < \delta$ , donde $\delta$ es alguna constante positiva), entonces $$ \lvert f''(0) - P(0) \rvert < kh, $$ donde $k$ es una constante.
Un poco menos formal, la idea de que el error $f''(0) - P(0)$ es $O(h)$ significa que hay algún tipo de límite superior en el tamaño del error (en cualquier dirección); El límite superior depende de $h$ de alguna manera; y si queremos un mejor límite en el error, sólo tenemos que elegir un $h$ . Por ejemplo, si queremos la mitad de error (como máximo) elija $h$ la mitad de grande.
Ahora veamos su fórmula, $$ f''(x)\approx \frac{f(x) - 2f(x+h) + f(x+2h)}{h^2}= P(x). $$ Si definimos $f(x) =e^x$ Esto significa que $$ P(x) = \frac{e^x - 2e^{x+h} + e^{x+2h}}{h^2} = e^x \left( \frac{1 - 2e^h + e^{2h}}{h^2} \right). $$
La utilidad de mostrar que esto es $O(h)$ es que podemos entonces acercarnos al verdadero valor de $f''(x)$ haciendo $h$ más cerca de cero, y tenemos una idea de la "rapidez" de cualquier reducción en $h$ reducirá el error. Realmente no tiene sentido demostrar que el error es $O(x)$ incluso si pudiéramos hacerlo, porque la idea aquí es que se nos dio un valor específico valor de $x$ y se le pidió que determinara $f''(x)$ para ese valor; no tenemos la opción de hacer $x$ más cerca de cero que el valor predeterminado que nos dieron.
Para demostrar que el error es $O(h)$ a partir de los primeros principios, sin utilizar el hecho de que la segunda derivada de $e^x$ es exactamente $e^x$ , utilice una serie de Taylor para demostrar que $$ P(x) = f''(x) + h f'''(x) + O\left(h^2\right), $$ como se muestra en la respuesta de Claude Leibovici, donde el $O\left(h^2\right)$ representa alguna función $R(h)$ es decir $O\left(h^2\right)$ . Claramente $h f'''(x)$ es $O(h)$ . La suma de un $O(h)$ y un $O(h^2)$ es la función $O(h)$ el valor absoluto de un $O(h)$ función es $O(h)$ y, por tanto, el error, $$ \lvert f''(0) - P(0) \rvert = \lvert h f'''(x) + O\left(h^2\right) \rvert , $$ es $O(h)$ .
Si la idea es confirmar que el error es $O(h)$ cuando definimos $f(x) = e^x$ utilizando el conocimiento de la segunda derivada exacta de $e^x$ entonces $$ f''(x) - P(x) = e^x - e^x \left( \frac{1 - 2e^h + e^{2h}}{h^2} \right) = e^x \left( 1 - \frac{\left(e^h - 1\right)^2}{h^2} \right). $$ Ampliar $e^h - 1$ como una serie y dividir por $h$ : \begin{align} \frac{1}{h} \left(e^h - 1\right) & = \frac{1}{h} \left(h + \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{6} + \cdots + \frac{h^n}{n!} + \cdots \right) \\ & = 1 + \frac{h}{2} + \frac{h^2}{6} + \cdots + \frac{h^n}{n!} + \cdots \\ & < 1 + \frac{h}{2} + \frac{h^2}{4} + \cdots + \frac{h^n}{2^n} + \cdots = 1+h; \end{align} Por lo tanto, mientras $0 < h < 1$ , $ 1 < \dfrac{e^h - 1}{h} < 1 + h $ y $$ 1 < \frac{\left(e^h - 1\right)^2}{h^2} < 1 + 2h + h^2 < 1 + 3h. $$ Para $0 < h < 1$ Por lo tanto, $$ \lvert f''(x) - P(x) \rvert = e^x \left(\frac{\left(e^h - 1\right)^2}{h^2} - 1 \right) < e^x ((1 + 3h) - 1) = \left(3e^x\right) h, $$ mostrando que el error es $O(h)$ y dando una función específica de la forma $kh$ como límite de error. (Con más esfuerzo, podríamos reducir el coeficiente $k$ para $0 < h < 1$ pero el punto principal de $O(h)$ es que algunos existe dicho coeficiente constante).
Por cierto, me gustaría poner una pega a la fórmula de aproximación $$ f''(x)\approx \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^2}= Q(x). $$ Para $f(x) = e^x$ esto se evalúa como \begin{align} Q(x) &= \frac{e^{x-h} - 2e^x + e^{x+h}}{h^2} \\ &= \frac{e^x}{h^2} \left( e^{-h} - 2 + e^h \right) \\ &= \frac{e^x}{h^2} \left( 1 - h + \frac{h^2}{2} - \frac{h^3}{6} + \frac{h^4}{24} - + \cdots + (-1)^n\frac{h^n}{n!} + \cdots\right.\\ & \qquad\qquad {} - 2 \\ & \qquad\qquad \left. {} + 1 + h + \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{6} + \frac{h^4}{24} + \cdots + \frac{h^n}{n!} + \cdots\right) \\ &= \frac{e^x}{h^2} \left(h^2 + \frac{h^4}{12} + \cdots + \frac{2 h^{2m}}{(2m)!} + \cdots\right)\\ &= e^x \left(1 + \frac{h^2}{12} + \cdots + \frac{2 h^{2m-2}}{(2m)!} + \cdots\right)\\ \end{align} De ello se desprende que $$ \lvert f''(x) - Q(x) \rvert = Q(x) - e^x = \frac{e^x}{12} h^2 + O(h^4), $$ es decir, $Q(x)$ es un $O(h^2)$ aproximación de $f''(x) = e^x$ con un factor constante bastante bajo.
