Un pequeño problema en mi argumento

Question

Consideramos el siguiente conjunto subconjunto de $\mathbb{Z}_{10}$ y considerar ese conjunto con la operación multiplicación.

$S = \{[0],[2],[4],[6],[8]\}$ . Podemos observar que en la tabla de Cayley que el elemento $[6]$ es la identidad, pero ese conjunto no es un grupo ya que $[0]$ no es invertible. En general, cualquier subconjunto de $\mathbb{Z}_n$ no será un grupo con respecto a la multiplicación si la clase $[0]$ está ahí, pero mi pregunta es si consideramos la identidad $[6]$ o identidad $[1]$ .

Answer 1

[6] es la identidad porque pertenece a su conjunto y satisface: [6][2]=[12]=[2], [6][4]=[24]=[4], [6][6]=[36]=[6], [6][8]=[48]=[8], tal y como dijiste.

Answer 2

Sí, $[6]$ es la identidad. Sólo hay que determinar que $[6]$ satisface las propiedades requeridas, es decir, [6][x]=[x]=[x][6] para todo $[x] \in S$ que supongo que ya has hecho. Como dices en tu comentario, $[1]$ ni siquiera está en $S$ para empezar, por lo que no puede ser un elemento de identidad de $S$ .