Análisis real: Conjuntos compactos

Question

Estoy trabajando en un problema de análisis real general que implica conjuntos compactos. Me dieron estos dos conjuntos:

$$A = \left\{0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots , \frac{1}{n}, \dots\right\}\text{ and } B = \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots , \frac{1}{n}, \dots\right\}$$

Tengo que averiguar qué conjunto es compacto y cuál no, y explicar por qué. Mi intuición me dice que $A$ es compacto y $B$ no es compacto. Pero no estoy seguro de por qué. ¿Podría alguien darme una prueba de (o mostrarme) por qué $A$ es compacto y $B$ ¿no?

Se agradece mucho la ayuda.

Answer 1

1) $A = \{0 \} \cup \{1/n \}$ es compacto ya que si tomamos cualquier cubierta abierta de $A \subset \bigcup_\alpha U_\alpha$ existe $\alpha_0$ tal que $0 \in U_{\alpha_0}$ pero entonces sólo hay un número finito de puntos de $A$ fuera de este barrio para cubrir. Por lo tanto, existe una subcubierta finita para que $A$ es un conjunto compacto.

2) $B$ no es compacto porque es un subconjunto de la recta real que no es cerrado.

Answer 2

Una pista: Para $A$ , demuestran que cualquier cubierta abierta admite una subcubierta finita. Para $B$ , obsérvese que la secuencia $(1/n)$ no tiene ningún punto límite en $B$ .

Answer 3

Los conjuntos compactos son cerrados. Un límite de una determinada secuencia en $B$ no converge a ningún punto en $B$ Así que $B$ no está cerrado.

Answer 4

Observe que $A$ tiene todos sus puntos límite, por lo que es cerrado y además está acotado. Sin embargo $B$ no satisface esa definición.

Answer 5

En cualquier espacio dimensional finito todo conjunto cerrado y acotado es compacto. y A es cerrado ya que tiene todos sus puntos límite (sólo un punto límite '0') y además está acotado. Así que es un conjunto compacto pero B no lo es.