Análisis real: Conjuntos compactos

Question

Estoy trabajando en un problema de análisis real general que implica conjuntos compactos. Me dieron estos dos conjuntos:

$$A = \left\{0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots , \frac{1}{n}, \dots\right\}\text{ and } B = \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots , \frac{1}{n}, \dots\right\}$$

Tengo que averiguar qué conjunto es compacto y cuál no, y explicar por qué. Mi intuición me dice que $A$ es compacto y $B$ no es compacto. Pero no estoy seguro de por qué. ¿Podría alguien darme una prueba de (o mostrarme) por qué $A$ es compacto y $B$ ¿no?

Se agradece mucho la ayuda.

Answer 1

$A$ es cerrado y acotado pero $B$ no está cerrado (el 0 no está en $B$ que es un punto límite de $B$ ). Por lo tanto, $A$ compacto pero $B$ no lo hace. Empieza por demostrar que sólo 0 es el punto límite de $A$ .

Answer 2

Def de conjunto compacto es cerrado y acotado. Aquí A y B son acotados. Demostramos que existe un límite cerrado y que el punto límite es 0. Pero A pertenece a 0 y B no pertenece a 0. Entonces A es cerrado pero B no. Así que A es cerrado pero B no lo es. hance A es compacto pero B no lo es.