Demostrando que $u_{tt} - \Delta u = 0$ es una EDP hiperbólica para $u: \mathbb{R}^{n} \times (0,\infty) \to \mathbb{R}$

Question

Una EDP de segundo orden puede expresarse en la forma $$ F(D^{2}u , Du ,u , x) = 0.$$ si $F$ es lineal en $D^{2}u$ entonces podemos expresar $$ F(D^{2}u , Du , u ,x) = L [u] + G(Du, u ,x),\tag{1}$$ con $$ L[u] := -\text{tr}(A(x)D^{2}u),$$ para lo cual $A(x)$ es una simetría $n\times n $ matriz.

Planteamiento del problema

Dejemos que $u:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ . Demostrar que $$ u_{tt}-\Delta u =0$$ es una EDP hiperbólica, utilizando el hecho de que una EDP es hiperbólica si para cada $x, A(x) = A_{ij}(x)$ tiene valores propios no nulos, y todos menos uno tienen el mismo signo.

$\textbf{Hint}$ : Considere la posibilidad de escribir este operador como $-\text{tr}(A(x,t)D^{2}_{x,t} u) =0.$

Intento de solución

En el planteamiento del problema dado $u=u(\vec{x},t)$ con $\vec{x} = (x_{1} , \dots , x_{n})$ Por lo tanto, \begin{align} -\Delta u &= -(u_{x_{1}^{2}} + u_{x_{2}^{2}} + \dots + u_{x_{n}^{2}} + u_{tt}) \\ &= -\text{tr}(D^{2}_{x,t}u) \end{align} Por lo tanto, tras $(1)$ , \begin{align} &u_{tt} -\text{tr}(D^{2}_{x,t}u) = -\text{tr}(A(x,t)D^{2}_{x,t}u) \end{align} Desde $A(x,t)$ es simétrica, supongo que $A(x,t) = (a)_{ij} =0 $ para $i \neq j$ tal que \begin{gather} u_{tt} = u_{tt} + \sum_{i=1}^{n} u_{ii} - a_{tt}u_{tt} - \sum_{i=1}^{n} a_{ii}u_{ii} \\ \implies a_{tt}u_{tt} = \sum_{i=1}^{n} u_{ii} (1-a_{ii}) \end{gather} Ahora bien, como el determinante de una matriz simétrica es el producto de sus valores propios y $a_{tt}\neq 0$ ya que no podemos dividir por $0$ Esto implica $A(x)$ tiene valores propios no nulos. Aquí estoy atascado y no puedo demostrar que todos los valores propios de $A(x)$ tienen el mismo signo. Además, no estoy seguro de mi solución.

Cualquier indicación o dirección sería muy apreciada.

Answer 1

EDIT: Entiendo su confusión aquí. Usted está interpretando $\Delta u$ como el Laplaciano tanto en el espacio como en el tiempo, es decir $\Delta u = u_{x_1x_1} + \dots + u_{x_nx_n} + u_{tt}$ . Pero en la ecuación de onda (y a menudo en otras partes), el Laplaciano sólo está en el espacial variables, por lo que $\Delta u = u_{x_1x_1} + \dots + u_{x_nx_n}$ sin ningún tipo de $t$ derivados.

Tenga en cuenta que $u(x,t) = u(x_1,x_2,\dots,x_n,t)$ no es una función de $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ como has escrito, sino que realmente es una función de $\mathbb{R}^{n+1}\to\mathbb{R}$ donde el $+1$ El superíndice indica que hay una variable de tiempo. Entonces el operador $u_{tt} -\Delta u$ puede escribirse como $$-\text{tr}(AD_{x,t}^2u)$$ donde $$A = \begin{bmatrix} 1 & & &\\ & \ddots & & &\\ & &1& \\ & & & -1\end{bmatrix},$$ y $$D^2_{x,t}u=\begin{bmatrix} u_{x_1x_1} & u_{x_1x_2} & &\\ u_{x_2x_1} & \ddots & &\\ & & u_{x_nx_n} &\\ & & & u_{tt}\end{bmatrix}.$$ La matriz $A$ satisface claramente el criterio de que un valor propio tenga distinto signo que el resto.