Dejemos que $X$ sea un espacio métrico que satisface que toda secuencia en $X$ tiene una subsecuencia que converge a un punto en $X$ .
Lemma: Todo espacio métrico que satisface la condición anterior tiene un subconjunto denso contable.
Extraigo la prueba de Stromberg . Comienza la prueba afirmando que existe un conjunto finito $A_\epsilon \subseteq X$ satisfaciendo
\begin{equation} \begin{split} &\rho(a,b)\geq\epsilon\; {\rm whenever}\; a\neq b\; {\rm in }\; A_\epsilon,\\ &B_\epsilon(x) \cap A_\epsilon \neq \emptyset\; {\rm for\; each}\; x\in X. \end{split} \end{equation}
La prueba pasa por contradecir que no hay tal $A_\epsilon$ existe. Todo es comprensible, ya que si no existe tal $A_\epsilon$ existe, se puede construir una secuencia que no tenga una subsecuencia convergente. La única pregunta que me hago es por qué el requisito de que $A_\epsilon$ es finito es necesario. No veo en la prueba que si el conjunto es infinito, cómo puede surgir la contradicción de que no haya subsecuencia convergente.
La prueba de que el conjunto anterior debe existir es la siguiente
Supongamos que las condiciones anteriores son falsas. Sea $x_1\in X$ . Cuando $x_1,\dots,x_n \in X$ se han elegido para que $\rho(x_i,x_j)\geq \epsilon$ si $i\neq j$ observamos que el conjunto $\lbrace x_1,\dots, x_n\rbrace$ satisface la primera condición, por lo que no puede satisfacer la segunda. Por lo tanto, existe $x_{n+1}\in X$ tal que $$B_\epsilon (x_{n+1})\cap\lbrace x_1,\dots,x_n\rbrace = \emptyset;$$ de donde $\rho(x_{n+1},x_i)\geq \epsilon$ para $1\geq i \geq n$ . De este modo, elegimos inductivamente una secuencia $(x_n)_{n=1}^\infty \subseteq X$ tal que $\rho(x_i,x_j)\geq \epsilon$ siempre que $i\neq j$ en $\mathbb{N}$ . (...)
