Integral sobre una secuencia de conjuntos cuyas medidas $\to 0.$

Question

Si $f \in L_p$ con $1 \leq p \leq \infty$ y ${A_n}$ es una secuencia de conjuntos medibles tal que $\mu (An) \rightarrow 0,$ entonces $\int_{A_n} f \rightarrow 0$ .

¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

$$\left|\int_{A_n}f d\mu \right| = \left|\int_{A_n}f\cdot 1 d\mu \right|\le \int_{A_n}|f|\cdot 1 d\mu \le \left(\int_{A_n}|f|^pd\mu\right)^{1/p}(\mu (A_n))^{1/q}\le \|f\|_p(\mu (A_n))^{1/q}$$

Answer 2

Mi prueba puede ser un poco larga, pero creo que puede ser una forma más estándar en el tratamiento de este tipo de problema.

Primero por $f\in L^{p}$ y DCT ( $f_n= |f|^p 1_{\{|f|>n\}}\leq |f|, f_n\rightarrow 0$ a.e. como $f \in L^p$ ), tenemos

$$\forall \epsilon >0, \exists N >1 , s.t. \int_{\{|f|>N\}} |f|^p <\epsilon/2.$$

Ahora bien, como $|f|^p>f$ en $\{|f|>N\}$ , $$|\int_{A_n}f |\leq \int_{\{A_n,\; |f|>N\}}|f| + \int_{\{A_n,\;|f|\leq N\}}|f| \leq \int_{\{|f|> N\}}|f|^p +N\mu(A_n)\leq \epsilon/2 + N\mu(A_n).$$

Desde $N$ depende de $\epsilon$ puede elegir $A_n$ lo suficientemente pequeño ( $\epsilon/2N$ )para que $$|\int_{A_n}f |\leq \epsilon.$$