Prueba $\vec i^i = \vec i_i$ en coordenadas rectangulares

Question

Prueba $\vec i^i = \vec i_i$ donde $\vec i_i$ es un vector base y $\vec i^i$ es un vector base dual en coordenadas cartesianas rectangulares.

Mi intento:

$\vec i^i \cdot \vec i_j = \delta_j^i$
$\delta_j^i = 1$ si $i=j$
$\vec i^i \cdot \vec i_i = 1$

Como las bases en los sistemas de coordenadas rectangulares son ortonormales...

$\vec i_i = 1$

Dado que $\vec i^i \cdot \vec i_i = 1$ ...
$\vec i_i = \vec i^i = 1$

Gracias.

Answer 1

Yo lo veo desde una perspectiva geométrica, pero puede haber una forma más general de verlo.

Verás, el espacio euclidiano es en realidad un espacio riemanniano con $g=I$ o $g_{ij}=\delta_{ij}$ en coordenadas cartesianas. Lo que usted parece estar preguntando es sobre el isomorfismo musical y subir y bajar los índices . Aquí se habla de vectores y covectores, pero más generalmente se puede hablar de tensores contravariantes y covariantes. En cualquier caso, cuando se dispone de una métrica, se puede bajar un índice contrayendo con la métrica.

Así que, en este caso: $$ v_j = g_{ij}{v}^i = \delta_{ij}v^i $$ donde se nota que el RHS es sólo el $j$ componente del vector.

O, en notación matricial-vectorial: $$ v = Iu = u $$ donde $v$ es el dual de $u$ .

Ver también ici y ici .