"Aplicaciones" Inmediatas de la Geometría Diferencial

Question

Mi profesor nos pidió encontrar y hacer una lista de cosas/hechos de la vida real que tengan una interpretación o justificación en geometría diferencial. Un ejemplo es esta pregunta anterior mía. Otro ejemplo que presentó mi profesor es demostrar que en una pelota de fútbol que está hecha de pentágonos regulares y hexágonos regulares, el número de pentágonos está fijo, como consecuencia de la fórmula poliedral de Euler. Supongo que hay muchos más de estos.

La idea es encontrar cosas/hechos cuya explicación sea un teorema en geometría diferencial y eventualmente dar una referencia a un libro/artículo donde se expliquen estas conexiones.

MI profesor quiere que hagamos tal lista y luego cada uno elija un tema y haga un proyecto que presente el teorema que se aplica (con la prueba, si la prueba no es demasiado larga) y luego presente la aplicación en sí misma.

Cualquier referencia o libro sobre el tema es más que bienvenida.

Answer 1

Cuando se envuelve una pelota como regalo de cumpleaños o Navidad, no se puede evitar la necesidad de doblar el papel. Esto se debe a que el papel tiene una curvatura gaussiana cero, y la pelota tiene curvatura gaussiana positiva. (Theorema Egregium)

Answer 2

Este es especialmente apropiado para un proyecto de clase: Es bien sabido que si estás comiendo una porción de pizza y el frente se cae, se supone que debes doblarlo a lo largo (para que la corteza se doble contra sí misma). La razón de esto es mucho menos conocida: la pizza tiene curvatura gaussiana 0, por lo que si creas curvatura en la dirección de izquierda a derecha, se verá obligada a permanecer recta en la dirección longitudinal.

(Estoy bastante seguro de que robé esto de una vieja pregunta de MathOverflow.)

Answer 3

La geometría diferencial explica por qué se enreda el cordón de tu teléfono. La mayoría de las personas levantan el auricular del teléfono con una de sus manos, supongamos sin pérdida de generalidad que con la mano derecha. Por lo tanto, al levantarlo y dejarlo, hacen un movimiento en sentido horario. Esto crea torcedura. La torcedura más la torsión da el enlace (a veces conocido como Teorema de Calugareanu), y el cordón del teléfono se vuelve superenrollado, y puede llegar a enredarse porque el enlace se relaja en bucles, y cualquier cosa que pase a través de esos bucles creará nudos trébol.

De hecho, el proceso anterior, hasta donde llega mi conocimiento, describe cómo ocurre todo el anudamiento en la naturaleza. Los nudos que ocurren naturalmente tienen una alta torsión, muchos nudos trébol y nudos toroidales, muy pocos nudos de Figura Ocho.

Answer 4

En cualquier momento dado, hay al menos un par de puntos antipodales en la Tierra que tienen exactamente la misma temperatura y la misma presión atmosférica. Esto es una consecuencia del teorema de la "pelota peluda".

Answer 5

En notación geométrica diferencial adecuada, las ecuaciones fundamentales que subyacen a la electrodinámica, es decir, las ecuaciones de Maxwell, toman la siguiente forma:

$$dF=0,$$ $$d*F=J,$$ donde $F$ es la intensidad del campo electromagnético, $J$ es la corriente (por ejemplo, electrones) y $*$ es el operador Hodge estrella. Dado que la primera ecuación simplemente dice que $F\ $ es cerrado, y dado que generalmente se considera que la topología del espacio-tiempo de cuatro dimensiones es poco complicada, por el lema de Poincaré podemos introducir una 1-forma $$A=\sum_{\mu=0}^3A_{\mu}dx^{\mu},$$ el cuatro-potencial electromagnético, que satisface $$F=dA.$$

Hay muchas formas de proceder a partir de aquí. Me di cuenta de que en la parte de abajo del artículo del lema de Poincaré en Wikipedia, profundizan más en el aspecto magnético de esto. Como puedes ver, esta es la parte que trata de los componentes espaciales de $A$, es decir, los tres componentes inferiores. Por lo tanto, creo que vale la pena considerar el otro extremo aquí: Situaciones simples en las que $A$ tiene realmente solo un componente, es decir, $A=A_0dx^0\equiv\phi\ dt.$ Esto es lo que a los físicos les gusta llamar "la teoría de la electrostática". (Puedo hablar así, soy físico yo mismo). La línea que sigue $$F=dA=d(\phi\ dt)=d\phi\wedge dt=-dt \wedge d\phi=dt \wedge \left(-\sum_{\mu=0}^3\frac{\partial\phi}{\partial x^{\mu}}dx^{\mu}\right)\equiv dt\wedge E,$$ puede ser reconocible. Es la versión cotangente de $\vec{E}=-\ grad(\phi).$ Cómo se relaciona este $\vec{E}$ con la 1-forma exacta $E$, cuyos componentes son solo los componentes temporales de la dos forma $F$, está determinado por la métrica espacio-tiempo. Los componentes son idénticos en un espacio-tiempo plano. Una observación sobre $E$ o $d(-\phi)$ en este contexto: Puedes ver que, naturalmente, aquí el lema de Poincaré vuelve a aparecer, esta vez en el espacio tridimensional, donde las ecuaciones de Maxwell indican que $curl(\vec{E})=\vec{0}$. Por lo tanto, si no consideras la teoría completa y excluyes la dependencia temporal, entonces puedes empezar desde esta relación.

Ahora define la fuerza electrostática $\vec{F}:=Q\ \vec{E}$, donde $Q$ es una carga eléctrica, junto con la definición habitual de trabajo $W:=\int \vec{F}\ d\vec{s}$ así como el teorema de Stokes (o realmente solo el teorema fundamental del cálculo) y la electrostática escolar cotidiana sigue de inmediato: $$W=\int \vec{F}\ d\vec{s}=\int Q\ \vec{E}\ d\vec{s}=-Q\int grad(\phi)\ d\vec{s}=-Q\ (\phi_2-\phi_1)\equiv Q\ U,$$ donde la diferencia de potencial $U$ se llama voltaje.

Otro punto interesante es la introducción de calibres, que reflejan que debido a $d^2=0$ encontramos que $F=d(A+d\alpha)$ se cumple para cualquier $\alpha$. Hay varios $A$ para solo uno campo electromagnético $F$. Amplias generalizaciones de estos conceptos eventualmente conducen a todas las demás teorías físicas que involucran cargas, como la teoría de los quarks. De hecho, todo el modelo estándar de física de partículas, que describe tres de las cuatro fuerzas fundamentales, sigue este camino. Esto cubre básicamente toda la física, excepto la gravedad. ¡Pero, oh sorpresa, eso también es geometría diferencial!

(Dicho esto, todos los aspectos geométricos diferenciales de los hermosos espacios llamados grupos de Lie darían lugar a una publicación igualmente larga y otra buena aplicación. La simetría de rotación, impuesta por el modelo métrico del espacio-tiempo, el grupo de rotación relacionado $SO(3)$, o más específicamente su cubierta universal $SU(2)$, y sus representaciones ... introducen la noción de espín, que eventualmente explica la estabilidad de la materia.)