Encontrando $\lim_{x\to 0^-} \frac{e^{1/x}}{x}$

Question

Estoy tratando de encontrar el siguiente límite $$ \lim_{x\to 0^-} \frac{e^{1/x}}{x} $$

Como $x$ se acerca a $0$ de la izquierda veo que tanto el numerador como el denominador se acercan $0$ . Así que esto parece una regla estándar de L'Hopital. Pero cuando aplico esto, entonces obtengo $$ \lim_{x\to 0^-} \frac{e^{1/x}}{x} = \lim_{x\to 0^-} \frac{e^{1/x}(-1/x^2)}{1} = \lim_{x\to 0^-} \frac{e^{1/x}}{-x^2} $$ Así que esto no parece ayudar mucho. Estoy un poco perdido.

Answer 1

Tenga en cuenta que por $x=-\frac1y$ con $y \to +\infty$

$$\lim_{x\to 0^-} \frac{e^{1/x}}{x}=\lim_{y\to +\infty} -ye^{-y}=\lim_{y\to \infty} -\frac{y}{e^{y}}=0$$

en efecto, con el tiempo $e^y>y^2$ et

$$\frac{y}{e^{y}}<\frac{y}{y^2}=\frac1y\to0$$

Answer 2

Una pista:
$\cfrac{\cfrac{1}{x}}{\cfrac{1}{e^{\frac{1}{x}}}}$ Ahora aplica L-Hospital

Answer 3

Dejemos que $y=-1/x$ , entonces su límite da $$-\lim_{y\to\infty}ye^{-y}=-\lim_{y\to\infty}\frac{y}{e^y}=0$$ por la regla de l'Hopital