Determinar los valores tales que la serie converge $\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^n$

Question

Determine para qué valores de $x \in \Bbb R$ la serie

$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^n$$

converge.

He probado la prueba de series alternas pero creo que no lo estoy haciendo correctamente porque me sigue saliendo infinito. ¿Significa eso que converge para todos los valores? Gracias.

Answer 1

Aplicando la prueba de la proporción, se encuentra la proporción límite: $$ \left|\frac{1-x}{1+x}\right|. $$ Por lo tanto, la serie converge si esa relación es $<1$ y diverge si es $>1$ . ¿Qué sucede cuando es igual a $1$ deben ser examinados por separado; la prueba de la proporción no ayuda en este caso. Así que tenemos $$ -1<\frac{1-x}{1+x}<1. $$ No podemos multiplicar los tres miembros por $1+x$ porque eso es a veces positivo y a veces negativo, dependiendo de $x$ . Así que utiliza un denominador común: $$ \frac{-1-x}{1+x} < \frac{1-x}{1+x} < \frac{1+x}{1+x} $$ La primera desigualdad se convierte en $$ 0 < \frac{2}{1+x} $$ y el segundo se convierte en $$ \frac{2x}{1+x}>0. $$ La primera se cumple si $x>-1$ y la segunda si $x>0$ o $x<-1$ . Necesitas ambas cosas, así que la solución es $x>0$ .

Answer 2

Desde $(1 - x)/(1 + x)$ se define sólo para $x \neq -1$ podemos descartar $x = -1$ . Sea $a_n(x)$ sea el $n$ término de la serie. Entonces

$$\lim_{n\to \infty} \left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| = \lim_{n\to \infty} \frac{2n+1}{2n+3}\left|\frac{1-x}{1+x}\right| = \left|\frac{1 - x}{1 + x}\right|.$$

Ahora $|(1 - x)/(1 + x)| < 1 \iff|1 - x| < |1 + x| \iff|1 - x|^2 < |1 + x|^2$ . Expandiendo ambos lados de la igualdad, obtenemos la desigualdad equivalente $x > 0$ . Por la prueba de la proporción, la serie $\sum a_n(x)$ converge cuando $x > 0$ y diverge cuando $x < 0$ . Cuando $x = 0$ la prueba de series alternas muestra $\sum a_n(x)$ converge. Así, $\sum a_n(x)$ converge si y sólo si $x \ge 0$ .